Dê o valor de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+y+2=0 \\\\ 2 x-y+z-a=0 \\\\ 4 x+y+a z+5=0\end{array}\right. seja impossível.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e parâmetro \(a\):
\[\begin{cases} a x + y + 2 = 0,\\[4pt] 2 x - y + z - a = 0,\\[4pt] 4 x + y + a z + 5 = 0. \end{cases}
O que nos pedem: encontrar os valores de (a] para os quais esse sistema é impossível (ou seja, não tem solução).
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{Equações:}\quad \begin{aligned} &(1)\quad a x + y = -2,\\\ &(2)\quad 2x - y + z = a,\\\ &(3)\quad 4x + y + a z = -5. \end{aligned}çõ
Variáveis: x,y,z. Parâmetro: a.
A definição de “sistema impossível” que usaremos: o sistema não admite nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): primeiro vamos analisar a matriz dos coeficientes do sistema. Se essa matriz for invertível (determinante não nulo) o sistema tem solução única e, portanto, é possível. Se o determinante for zero a matriz é singular e o sistema pode ser ou impossível ou ter infinitas soluções; então, quando o determinante for zero precisamos verificar se ocorre uma contradição (linha com 0x+0y+0z = número não nulo) — isso caracteriza impossibilidade. Justificativa curta do método: para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b}, se \det(A)\neq0 então existe \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} (solução única); se \det(A)=0 a existência depende de \mathbf{b} (pode não existir).
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes:
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 4 & 1 & a \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt] a\\[4pt] -5\end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante \det(A). Lembre: se A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}, então a expansão na primeira linha dá
Conclusão intermediária: \det(A)\neq0 para todos os a exceto a=1 e a=-4. Logo, para a\notin\{1,-4\} o sistema tem solução única (é possível). Assim só precisamos testar os dois casos a=1 e a=-4 para ver se o sistema fica impossível (contradição) ou tem infinitas soluções.
Passo 6
Caso a=1\). Substituímos nas equações (pegando \(a=1\) das equações do enunciado):
\[\begin{cases} x + y = -2,\\[4pt] 2x - y + z = 1,\\[4pt] 4x + y + z = -5. \end{cases}
Da primeira equação: y=-2-x\]. Substituindo na segunda:
\[2x -(-2-x) + z = 1 \;\Rightarrow\; 2x+2+x+z=1 \;\Rightarrow\; 3x+z = -1,\]
logo \(z=-1-3x. Agora substituímos y e z na terceira equação:
Isso dá -3 = -5, que é uma contradição (falso). Portanto, para a=1 o sistema é impossível.]
Passo 7
Caso a=-4\). Substituímos \(a=-4\) nas equações:
\[\begin{cases} -4x + y = -2,\\[4pt] 2x - y + z = -4,\\[4pt] 4x + y -4z = -5. \end{cases}
Da primeira equação: y=-2+4x\]. Substituímos na segunda:
\[2x -(-2+4x) + z = -4 \;\Rightarrow\; 2x+2-4x+z=-4 \;\Rightarrow\; -2x+z=-6,\]
logo \(z=-6+2x. Agora substituímos y e z na terceira equação:
Isso dá 22 = -5, outra contradição. Portanto, para a=-4 o sistema também é impossível.]
Passo 8
Resumo e interpretação: os únicos valores de a que tornam a matriz de coeficientes singular são a=1 e a=-4. Em ambos esses casos a substituição nas equações levou a uma igualdade impossível (contradição), então o sistema não tem solução para a=1 nem para a=-4. Para qualquer outro a o determinante é não nulo e o sistema tem solução única.