Para qual valor de x o vetor (7, x, -10) é ortogonal ao vetor 3, x, x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve vetores. A gente precisa descobrir para qual valor de o vetor é ortogonal ao vetor . Ortogonal significa que os dois vetores formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, a gente vai usar um conceito da matéria de Álgebra Linear: o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Seja e . O produto escalar fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo:
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Para que os vetores sejam ortogonais, esse produto escalar precisa ser igual a zero:
Vamos rearranjar para formar uma equação quadrática:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Então,

Resposta

Os valores de que tornam os vetores ortogonais são e .

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