Para qual valor de
o vetor
é ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que envolve vetores. A gente precisa descobrir para qual valor de
o vetor
é ortogonal ao vetor
. Ortogonal significa que os dois vetores formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, a gente vai usar um conceito da matéria de Álgebra Linear: o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Seja
e
. O produto escalar fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo:
Então, o produto escalar fica:
Passo 5
Para que os vetores sejam ortogonais, esse produto escalar precisa ser igual a zero:
Vamos rearranjar para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Então,
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores ortogonais são
e
.