Para que valores de a e b o sistema \left\{\begin{array}{c}a x+2 y-6 z=2 \\\\ 3 x-5 y-2 z=6 \\\ x+y-3 z=b\end{array}\right. é possível e indetermi nado?

Passo 1

Resumindo, temos o sistema
\begin{cases} a x + 2y - 6z = 2,\\\\ 3x - 5y - 2z = 6,\\\ x + y - 3z = b, \end{cases}
e queremos descobrir para quais valores de a e b ele é possível e indeterminado (isto é, tem infinitas soluções). Em termos de teoria, isso ocorre quando a matriz dos coeficientes é singular (determinante zero) mas o sistema continua consistente (posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz aumentada, ambos menores que 3).

Passo 2

Calcular o determinante da matriz de coeficientes
M = \begin{pmatrix} a & 2 & -6\\\\ 3 & -5 & -2\\\\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(M) = a\det\begin{pmatrix}-5 & -2\\\ 1 & -3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 1 & -3\end{pmatrix} -6\det\begin{pmatrix}3 & -5\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}-5 & -2\\\ 1 & -3\end{pmatrix}=17,\quad \det\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 1 & -3\end{pmatrix}=-7,\quad \det\begin{pmatrix}3 & -5\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=8.
Logo
\det(M)=a\cdot17 -2\cdot(-7) -6\cdot8 = 17a +14 -48 =17a -34.

Passo 3

Para que a matriz seja singular, exigimos
17a -34 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Só nesse caso podemos ter infinitas soluções.

Passo 4

Agora impomos a=2\) e verificamos a consistência. O sistema fica \[\begin{cases} 2x + 2y -6z = 2,\\\\ 3x -5y -2z = 6,\\\ x + y -3z = b. \end{cases}
Como a matriz está singular, uma das equações é combinação das outras. Suponha
\alpha\,(2x+2y-6z) + \beta\,(3x-5y-2z) = x + y -3z.
Isso gera o sistema para \alpha,\beta\]: \[\begin{cases} 2\alpha +3\beta = 1,\\\\ 2\alpha -5\beta=1,\\\\ -6\alpha -2\beta=-3. \end{cases}\] Das duas primeiras equações achamos \(\beta=0 e \alpha=\tfrac12, que satisfaz também a terceira. Então a terceira linha é \tfrac12 vezes a primeira linha. Para o sistema ser consistente, o mesmo deve valer no termo independente:
b = \tfrac12\cdot 2 + 0\cdot 6 = 1.

Resposta

a = 2 e b = 1.

Exercícios relacionados