Para que valores de a e b o sistema \left\{\begin{array}{c}a x+2 y-6 z=2 \\\\ 3 x-5 y-2 z=6 \\\ x+y-3 z=b\end{array}\right. é possível e indetermi nado?
Passo 1
Resumindo, temos o sistema
\begin{cases} a x + 2y - 6z = 2,\\\\ 3x - 5y - 2z = 6,\\\ x + y - 3z = b, \end{cases}
e queremos descobrir para quais valores de a e b ele é possível e indeterminado (isto é, tem infinitas soluções). Em termos de teoria, isso ocorre quando a matriz dos coeficientes é singular (determinante zero) mas o sistema continua consistente (posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz aumentada, ambos menores que 3).
Passo 2
Calcular o determinante da matriz de coeficientes
M = \begin{pmatrix} a & 2 & -6\\\\ 3 & -5 & -2\\\\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Agora impomos a=2\) e verificamos a consistência. O sistema fica
\[\begin{cases} 2x + 2y -6z = 2,\\\\ 3x -5y -2z = 6,\\\ x + y -3z = b. \end{cases}
Como a matriz está singular, uma das equações é combinação das outras. Suponha
\alpha\,(2x+2y-6z) + \beta\,(3x-5y-2z) = x + y -3z.
Isso gera o sistema para \alpha,\beta\]:
\[\begin{cases} 2\alpha +3\beta = 1,\\\\ 2\alpha -5\beta=1,\\\\ -6\alpha -2\beta=-3. \end{cases}\]
Das duas primeiras equações achamos \(\beta=0 e \alpha=\tfrac12, que satisfaz também a terceira. Então a terceira linha é \tfrac12 vezes a primeira linha. Para o sistema ser consistente, o mesmo deve valer no termo independente: