Para que valores de K os polinômios são estáveis
s^{4}+2 s^{3}+2 s^{2}+(K+1) s+2

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(s)=s^{4}+2 s^{3}+2 s^{2}+(K+1) s+2
e pergunta para quais valores de K esse polinômio é estável (isto é, todas as raízes têm parte real negativa). Informações relevantes que temos:
  • Coeficientes do polinômio (da maior para a menor potência): 1,\;2,\;2,\;K+1,\;2.
  • Queremos a condição de estabilidade (todas as raízes com parte real negativa). A resolução usará um critério que transforma essa pergunta em condições sobre sinais dos elementos de uma tabela (não vou decidir qual critério aqui; apenas listei o que o enunciado dá e pede).

Passo 2

Vou usar o método de Routh–Hurwitz (porque é o jeito padrão e prático para checar estabilidade de polinômios sem calcular raízes). Antes de usar, explico didaticamente a construção da tabela de Routh e a regra que vamos usar.
Regra básica da tabela de Routh:
  • Montamos uma tabela em linhas correspondentes a s^n, s^{n-1}, \dots, s^0.
  • A primeira linha (linha do maior grau) contém os coeficientes das potências pares começando no maior grau; a segunda linha contém os coeficientes das potências ímpares.
  • Cada elemento da coluna da esquerda (exceto nas duas primeiras linhas) é obtido por uma fórmula que combina os elementos das duas linhas imediatamente acima. Se chamarmos a linha acima de (A) com primeiro elemento a_1 e segundo elemento a_2, e a linha acima dessa (B) com primeiro elemento b_1 e segundo elemento b_2, então o primeiro elemento da nova linha (C) é
c_1=\frac{a_1 b_2 - b_1 a_2}{a_1}.
Aqui: a_1 é o primeiro elemento da linha A (linha imediatamente acima), a_2 é o segundo elemento da linha A, b_1 é o primeiro elemento da linha B (duas acima), b_2 é o segundo elemento da linha B. Essa fórmula vem da eliminação que preserva o determinante dos pares de colunas; não precisa decorar sem entender, mas na prática aplicamos essa fração repetidamente.
  • Condição de estabilidade: o polinômio é estável se, e somente se, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem estritamente positivos.

Passo 3

Montando as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes do polinômio dado. Os coeficientes ordenados: 1 (para s^4), 2 (para s^3), 2 (para s^2), K+1 (para s^1), 2 (para s^0).
Primeira linha ( s^4) pega os coeficientes das potências pares: 1,\;2,\;2.
Segunda linha ( s^3) pega os coeficientes das potências ímpares: 2,\;K+1,\;0 (o zero é porque não há termo s^{-1}).
Escrevendo as duas primeiras linhas:
\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 2 & 2\\[4pt] s^3 & 2 & K+1 & 0 \end{array}]

Passo 4

Calculamos a linha de s^2 aplicando a fórmula explicada. Primeiro elemento da linha s^2 (vou chamar de b_1):
Usando a fórmula
b_1 = \frac{(2)\cdot(2) - (1)\cdot(K+1)}{2}.
Faço as contas passo a passo:
(2)\cdot(2)=4,\qquad (1)\cdot(K+1)=K+1,
portanto
b_1=\frac{4-(K+1)}{2}=\frac{3-K}{2}.
O segundo elemento da linha s^2 (chamo de b_2) vem da combinação da segunda coluna com a terceira; aqui fica
b_2=\frac{(2)\cdot(2) - (1)\cdot 0}{2}=\frac{4}{2}=2.
Assim a linha s^2 é
s^2:\quad \frac{3-K}{2}\quad\; 2.

Passo 5

Agora calculamos a linha s^1. O primeiro elemento desta linha (chamo de c_1) usa a fórmula com a linha acima ( s^2) e a linha duas acima ( s^3). Aplicando:
c_1=\frac{\big(\tfrac{3-K}{2}\big)\cdot (K+1) - (2)\cdot 2}{\tfrac{3-K}{2}}.
Vou simplificar isso passo a passo. Multiplico numerador e denominador por 2 para evitar frações dentro de frações:
c_1=\frac{(3-K)(K+1) - 8}{3-K}.
Agora expondo o numerador:
(3-K)(K+1)=3K+3 - K^2 - K = -K^2 +2K +3.
Subtraindo 8:
-K^2 +2K +3 -8 = -K^2 +2K -5.
Logo
c_1=\frac{-K^2 +2K -5}{3-K}.
Posso multiplicar numerador e denominador por -1 para uma forma mais usual no numerador:
c_1=\frac{K^2 -2K +5}{K-3}.
Observe que transformei o sinal em ambos para clareza. A linha s^1 fica então
s^1:\quad \frac{K^2 -2K +5}{K-3}\quad\; 0.

Passo 6

A última linha s^0 corresponde ao termo independente e vale sempre 2. Assim a primeira coluna da tabela de Routh (do topo para baixo) é:
1,\quad 2,\quad \frac{3-K}{2},\quad \frac{K^2 -2K +5}{K-3},\quad 2.
Pelo critério de Routh, para estabilidade precisamos que todos esses elementos sejam estritamente positivos. Já sabemos que 1>0 e 2>0 (primeiro e último elementos). Portanto as condições importantes a verificar são:
\frac{3-K}{2} > 0
e
\frac{K^2 -2K +5}{K-3} > 0.

Passo 7

Analiso cada desigualdade.
  1. Da primeira desigualdade:
\frac{3-K}{2} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3-K>0 \quad\Longleftrightarrow\quad K<3.
  1. Da segunda desigualdade, note o numerador:
N(K)=K^2 -2K +5=(K-1)^2 +4.
Como (K-1)^2\ge 0, temos N(K)\ge 4 para todo K, ou seja, N(K)>0 para todo K\in\mathbb{R}. Assim o sinal da fração
\frac{K^2 -2K +5}{K-3}
é o mesmo do denominador K-3. Portanto a segunda desigualdade é equivalente a
K-3>0 \quad\Longleftrightarrow\quad K>3.

Passo 8

Agora juntamos as duas condições necessárias para estabilidade:
K<3 \quad\text{e}\quad K>3.
Essas duas condições não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo por nenhum K real. Portanto não existe K real que torne simultaneamente positivos os elementos \frac{3-K}{2} e \frac{K^2 -2K +5}{K-3}. Resta ainda verificar os casos limites (por exemplo K=3) para ver se há estabilidade marginal.
Caso K=3: substituindo em b_1 obtemos b_1=\frac{3-3}{2}=0. Um elemento igual a zero na primeira coluna indica que ou há raízes imaginais puras (marginalmente estável) ou que a tabela exige tratamento especial (auxiliary polynomial). Usando o procedimento padrão (ou analisando o comportamento com um pequeno \varepsilon>0), conclui-se que para K=3 ocorre perda de estabilidade (há encadeamento que leva a mudança de sinal na primeira coluna), ou seja, não é caso de estabilidade assintótica. Portanto K=3 não dá estabilidade estrita. Em suma: não existe K\in\mathbb{R} que torne o polinômio estritamente estável.

Passo 9

Recapitulando: a condição b_1>0 exige K<3. A condição c_1>0 exige K>3. Essas duas exigências são incompatíveis. O caso limite K=3 não produz estabilidade estrita (leva a elemento zero e raiz(s) na fronteira). Conclusão: não há valor real de K que torne todas as raízes com parte real negativa.

Resposta

Não existe valor real de K que torne o polinômio s^{4}+2 s^{3}+2 s^{2}+(K+1) s+2 estável.

Exercícios relacionados