Para que valores de K os polinômios são estáveis
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pergunta para quais valores de
esse polinômio é estável (isto é, todas as raízes têm parte real negativa). Informações relevantes que temos:
- Coeficientes do polinômio (da maior para a menor potência):
. - Queremos a condição de estabilidade (todas as raízes com parte real negativa). A resolução usará um critério que transforma essa pergunta em condições sobre sinais dos elementos de uma tabela (não vou decidir qual critério aqui; apenas listei o que o enunciado dá e pede).
Passo 2
Vou usar o método de Routh–Hurwitz (porque é o jeito padrão e prático para checar estabilidade de polinômios sem calcular raízes). Antes de usar, explico didaticamente a construção da tabela de Routh e a regra que vamos usar.
Regra básica da tabela de Routh:
- Montamos uma tabela em linhas correspondentes a
. - A primeira linha (linha do maior grau) contém os coeficientes das potências pares começando no maior grau; a segunda linha contém os coeficientes das potências ímpares.
- Cada elemento da coluna da esquerda (exceto nas duas primeiras linhas) é obtido por uma fórmula que combina os elementos das duas linhas imediatamente acima. Se chamarmos a linha acima de (A) com primeiro elemento
e segundo elemento , e a linha acima dessa (B) com primeiro elemento e segundo elemento , então o primeiro elemento da nova linha (C) é
Aqui:
é o primeiro elemento da linha A (linha imediatamente acima),
é o segundo elemento da linha A,
é o primeiro elemento da linha B (duas acima),
é o segundo elemento da linha B. Essa fórmula vem da eliminação que preserva o determinante dos pares de colunas; não precisa decorar sem entender, mas na prática aplicamos essa fração repetidamente.
- Condição de estabilidade: o polinômio é estável se, e somente se, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem estritamente positivos.
Passo 3
Montando as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes do polinômio dado. Os coeficientes ordenados:
(para
),
(para
),
(para
),
(para
),
(para
).
Primeira linha (
) pega os coeficientes das potências pares:
.
Segunda linha ( ) pega os coeficientes das potências ímpares:
(o zero é porque não há termo
).
Segunda linha (
Escrevendo as duas primeiras linhas:
Passo 4
Calculamos a linha de
aplicando a fórmula explicada. Primeiro elemento da linha
(vou chamar de
):
Usando a fórmula
Faço as contas passo a passo:
portanto
O segundo elemento da linha
(chamo de
) vem da combinação da segunda coluna com a terceira; aqui fica
Assim a linha
é
Passo 5
Agora calculamos a linha
. O primeiro elemento desta linha (chamo de
) usa a fórmula com a linha acima (
) e a linha duas acima (
). Aplicando:
Vou simplificar isso passo a passo. Multiplico numerador e denominador por
para evitar frações dentro de frações:
Agora expondo o numerador:
Subtraindo
:
Logo
Posso multiplicar numerador e denominador por
para uma forma mais usual no numerador:
Observe que transformei o sinal em ambos para clareza. A linha
fica então
Passo 6
A última linha
corresponde ao termo independente e vale sempre
. Assim a primeira coluna da tabela de Routh (do topo para baixo) é:
Pelo critério de Routh, para estabilidade precisamos que todos esses elementos sejam estritamente positivos. Já sabemos que
e
(primeiro e último elementos). Portanto as condições importantes a verificar são:
e
Passo 7
Analiso cada desigualdade.
- Da primeira desigualdade:
- Da segunda desigualdade, note o numerador:
Como
, temos
para todo
, ou seja,
para todo
. Assim o sinal da fração
é o mesmo do denominador
. Portanto a segunda desigualdade é equivalente a
Passo 8
Agora juntamos as duas condições necessárias para estabilidade:
Essas duas condições não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo por nenhum
real. Portanto não existe
real que torne simultaneamente positivos os elementos
e
. Resta ainda verificar os casos limites (por exemplo
) para ver se há estabilidade marginal.
Caso
: substituindo em
obtemos
. Um elemento igual a zero na primeira coluna indica que ou há raízes imaginais puras (marginalmente estável) ou que a tabela exige tratamento especial (auxiliary polynomial). Usando o procedimento padrão (ou analisando o comportamento com um pequeno
), conclui-se que para
ocorre perda de estabilidade (há encadeamento que leva a mudança de sinal na primeira coluna), ou seja, não é caso de estabilidade assintótica. Portanto
não dá estabilidade estrita. Em suma: não existe
que torne o polinômio estritamente estável.
Passo 9
Recapitulando: a condição
exige
. A condição
exige
. Essas duas exigências são incompatíveis. O caso limite
não produz estabilidade estrita (leva a elemento zero e raiz(s) na fronteira). Conclusão: não há valor real de
que torne todas as raízes com parte real negativa.
Resposta
Não existe valor real de
que torne o polinômio
estável.