Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em \mathrm{C}^{+}.
s^{3}+4 s^{2}+2 s+8

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o critério de Routh, se o polinômio abaixo é estável; caso seja instável, indicar o número de raízes em \mathrm{C}^{+}.
O polinômio dado é
s^{3}+4s^{2}+2s+8.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{coeficientes: } a_3=1,\; a_2=4,\; a_1=2,\; a_0=8.

Passo 2

Breve explicação do critério de Routh (passo a passo, sem pular etapas):
  • Objetivo: saber quantas raízes do polinômio têm parte real positiva (ou seja, quantas estão em \mathrm{C}^{+}) sem calcular as raízes explicitamente.
  • Ideia central: montar a tabela de Routh. A partir dos coeficientes do polinômio organizamos linhas correspondentes a potências decrescentes de s. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh é exatamente o número de raízes em \mathrm{C}^{+}.
  • Como construir a tabela (regra para um elemento genérico):
    • Para um polinômio com grau n, a primeira linha (linha de s^n) recebe os coeficientes de ordem n, n-2, n-4,\dots.
    • A segunda linha (linha de s^{n-1}) recebe os coeficientes de ordem n-1, n-3, n-5,\dots.
    • Para as linhas seguintes, cada elemento é calculado usando um determinante tipo: b = \frac{(\text{elemento\_acima\_primeiro})\cdot(\text{elemento\_acima\_à\_direita}) - (\text{elemento\_acima\_primeiro\_da\_coluna\_superior})\cdot(\text{elemento\_à\_direita\_na\_linha\_acima\_2})}{(\text{elemento\_do\_primeiro\_coluna\_da\_linha\_acima})}.àà(Na prática, para cada entrada da linha nova usamos os dois elementos imediatamente acima formando um determinante e dividimos pelo primeiro elemento da linha acima.)
  • Casos especiais:
    • Se o primeiro elemento de uma linha for zero, mas a linha não for toda zero, usa-se um pequeno valor \epsilon>0 e toma-se o limite (prática: trocar por \epsilon e observar sinais).
    • Se uma linha inteira ficar com zeros, constrói-se o polinômio auxiliar A(s) a partir da linha acima (pegando seus coeficientes como termos de A(s)), calcula-se A'(s) (a derivada) e substitui-se a linha de zeros pelos coeficientes de A'(s). Isso corresponde à presença de pólos simétricos em relação ao eixo imaginário (raízes simétricas em sinais).
  • Depois de montar a tabela (usando substituições especiais quando necessário), conta-se quantas vezes a primeira coluna muda de sinal; esse número é o número de raízes em \mathrm{C}^{+}. Se não houver mudanças de sinal, o sistema é estável (todas as raízes em \mathrm{Re}(s) < 0).

Passo 3

Vamos montar a tabela de Routh para \;s^{3}+4s^{2}+2s+8\; seguindo as regras práticas.
  1. Linha s^3 (coeficientes de grau ímpar descendente): os elementos são os coeficientes de s^3 e s^1, ou seja
\text{linha } s^3: \quad 1 \quad 2.
  1. Linha s^2 (coeficientes de grau par descendente): os elementos são os coeficientes de s^2 e s^0, ou seja
\text{linha } s^2: \quad 4 \quad 8.
  1. Agora calculamos a primeira entrada da linha s^1 usando a fórmula de determinante dividida pelo primeiro elemento da linha s^2:
\text{entrada } s^1_1 = \frac{4\cdot 2 - 1\cdot 8}{4}.
Calculemos passo a passo:
  • 4\cdot 2 = 8.
  • 1\cdot 8 = 8.
  • Portanto 4\cdot 2 - 1\cdot 8 = 8-8 = 0.
  • Dividindo por 4 obtemos 0.
Assim a linha s^1 fica (esta é a primeira entrada; como é um polinômio cúbico, não há outro elemento significativo à direita):
\text{linha } s^1: \quad 0 \quad 0.
Observação importante (caso especial): a linha s^1 ficou toda zerada (todos os seus elementos são zero). Isso ativa o procedimento especial explicado antes: devemos construir o polinômio auxiliar a partir da linha imediatamente acima, que é a linha s^2.

Passo 4

Construção do polinômio auxiliar e substituição da linha toda-zero.
  1. A linha s^2 tinha coeficientes 4 (para s^2) e 8 (para s^0). Formamos o polinômio auxiliar A(s) com essas entradas, tomando potências pares decrescentes começando em s^2:
A(s) = 4s^{2} + 8.
  1. Calculamos a derivada A'(s):
A'(s) = \frac{d}{ds}(4s^{2}+8) = 8s.
  1. Os coeficientes de A'(s) servem para substituir a linha s^1 que estava toda zerada. O polinômio A'(s)=8s tem coeficientes correspondentes a 8 (para s^1) e 0 (para s^0). Logo substituímos a linha s^1 por:
\text{linha } s^1: \quad 8 \quad 0.
  1. A última linha s^0 é simplesmente o coeficiente a_0=8:
\text{linha } s^0: \quad 8.
Agora a tabela de Routh (apenas primeira coluna necessária para contar sinais) tem, na ordem das linhas de cima para baixo:
\begin{array}{c|c} \text{linha} & \text{primeira coluna} \\\ \hline s^3 & 1 \\\ s^2 & 4 \\\ s^1 & 8 \\\ s^0 & 8 \end{array}

Passo 5

Análise dos sinais na primeira coluna e conclusão:
  • Sequência dos sinais na primeira coluna: 1 (positivo), 4 (positivo), 8 (positivo), 8 (positivo).
  • Não há nenhuma mudança de sinal (positivo → negativo ou negativo → positivo) ao percorrer a primeira coluna de cima para baixo.
Pelo critério de Routh, o número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes do polinômio com parte real positiva (raízes em \mathrm{C}^{+}). Como não há mudanças de sinal, não há raízes em \mathrm{C}^{+}.
Portanto o polinômio é estável (todas as raízes têm parte real negativa).
Força aí — você conseguiu ver todo o processo: montar a tabela, lidar com a linha toda-zero via polinômio auxiliar e contar sinais. Na prova, se aparecer um caso igual, segue esses passos e dá certo.

Resposta

O polinômio s^{3}+4s^{2}+2s+8 é estável (não possui raízes em \mathrm{C}^{+}).

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