Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em
.
s^{3}+4 s^{2}+2 s+8
s^{3}+4 s^{2}+2 s+8
Passo 1
O enunciado pede para determinar, usando o critério de Routh, se o polinômio abaixo é estável; caso seja instável, indicar o número de raízes em
.
O polinômio dado é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Breve explicação do critério de Routh (passo a passo, sem pular etapas):
- Objetivo: saber quantas raízes do polinômio têm parte real positiva (ou seja, quantas estão em
) sem calcular as raízes explicitamente. - Ideia central: montar a tabela de Routh. A partir dos coeficientes do polinômio organizamos linhas correspondentes a potências decrescentes de
. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh é exatamente o número de raízes em . - Como construir a tabela (regra para um elemento genérico):
- Para um polinômio com grau
, a primeira linha (linha de ) recebe os coeficientes de ordem . - A segunda linha (linha de
) recebe os coeficientes de ordem . - Para as linhas seguintes, cada elemento é calculado usando um determinante tipo:
(Na prática, para cada entrada da linha nova usamos os dois elementos imediatamente acima formando um determinante e dividimos pelo primeiro elemento da linha acima.)
- Para um polinômio com grau
- Casos especiais:
- Se o primeiro elemento de uma linha for zero, mas a linha não for toda zero, usa-se um pequeno valor
e toma-se o limite (prática: trocar por e observar sinais). - Se uma linha inteira ficar com zeros, constrói-se o polinômio auxiliar
a partir da linha acima (pegando seus coeficientes como termos de ), calcula-se (a derivada) e substitui-se a linha de zeros pelos coeficientes de . Isso corresponde à presença de pólos simétricos em relação ao eixo imaginário (raízes simétricas em sinais).
- Se o primeiro elemento de uma linha for zero, mas a linha não for toda zero, usa-se um pequeno valor
- Depois de montar a tabela (usando substituições especiais quando necessário), conta-se quantas vezes a primeira coluna muda de sinal; esse número é o número de raízes em
. Se não houver mudanças de sinal, o sistema é estável (todas as raízes em ).
Passo 3
Vamos montar a tabela de Routh para
seguindo as regras práticas.
- Linha
(coeficientes de grau ímpar descendente): os elementos são os coeficientes de e , ou seja
- Linha
(coeficientes de grau par descendente): os elementos são os coeficientes de e , ou seja
- Agora calculamos a primeira entrada da linha
usando a fórmula de determinante dividida pelo primeiro elemento da linha :
Calculemos passo a passo:
-
. -
. - Portanto
. - Dividindo por
obtemos .
Assim a linha
fica (esta é a primeira entrada; como é um polinômio cúbico, não há outro elemento significativo à direita):
Observação importante (caso especial): a linha
ficou toda zerada (todos os seus elementos são zero). Isso ativa o procedimento especial explicado antes: devemos construir o polinômio auxiliar a partir da linha imediatamente acima, que é a linha
.
Passo 4
Construção do polinômio auxiliar e substituição da linha toda-zero.
- A linha
tinha coeficientes (para ) e (para ). Formamos o polinômio auxiliar com essas entradas, tomando potências pares decrescentes começando em :
- Calculamos a derivada
:
- Os coeficientes de
servem para substituir a linha que estava toda zerada. O polinômio tem coeficientes correspondentes a (para ) e (para ). Logo substituímos a linha por:
- A última linha
é simplesmente o coeficiente :
Agora a tabela de Routh (apenas primeira coluna necessária para contar sinais) tem, na ordem das linhas de cima para baixo:
Passo 5
Análise dos sinais na primeira coluna e conclusão:
- Sequência dos sinais na primeira coluna:
(positivo), (positivo), (positivo), (positivo). - Não há nenhuma mudança de sinal (positivo → negativo ou negativo → positivo) ao percorrer a primeira coluna de cima para baixo.
Pelo critério de Routh, o número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes do polinômio com parte real positiva (raízes em
). Como não há mudanças de sinal, não há raízes em
.
Portanto o polinômio é estável (todas as raízes têm parte real negativa).
Força aí — você conseguiu ver todo o processo: montar a tabela, lidar com a linha toda-zero via polinômio auxiliar e contar sinais. Na prova, se aparecer um caso igual, segue esses passos e dá certo.
Resposta
O polinômio
é estável (não possui raízes em
).