Valores de tensão e as correspondentes correntes foram tabulados para dois elementos de circuito. Faça os cálculos que se pedem:
| Elemento #1 | |
|---|---|
| Tensão(V) | Corrente (A) |
| -4 | -2 |
| -3 | -3 |
| 0 | 0 |
| 12 | 2 |
| 32 | 4 |
| 60 | 6 |
| Elemento #2 | |
| :—: | :—: |
| Tensão(V) | Corrente (A) |
| -80 | -5 |
| -32 | -2 |
| 0 | 0 |
| 48 | 3 |
| 96 | 6 |
Determine se os elementos de circuito são lineares a partir da respectiva equação de
em função de
para o Elemento #1 e equação de
em função de
para o Elemento #2. Faça as provas dos princípios da superposição e da homogeneidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se dois elementos de circuito são lineares. Isso quer dizer que a relação entre tensão (V) e corrente (I) segue uma equação linear. Para isso, vamos analisar os dados fornecidos para cada elemento e derivar as equações que relacionam V e I. Também vamos testar os princípios da superposição e da homogeneidade para comprovar a linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no Elemento #1. Temos uma tabela com valores de tensão e corrente:
| Tensão (V) | Corrente (A) |
|---|---|
| -4 | -2 |
| -3 | -3 |
| 0 | 0 |
| 12 | 2 |
| 32 | 4 |
| 60 | 6 |
Nosso objetivo é encontrar uma relação linear entre I e V, ou seja, uma equação da forma:
onde $ k $ é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Vamos calcular o valor de $ k $ usando alguns pares de valores de V e I.
Por exemplo, usando V = 12 V e I = 2 A:
Agora, vamos verificar se essa constante vale para os outros pontos.
- Para V = -4 V e I = -2 A:
- Para V = -3 V e I = -3 A:
- Para V = 32 V e I = 4 A:
- Para V = 60 V e I = 6 A:
Vemos que o valor de $ k $ não é constante. Isso significa que a relação entre I e V não é linear para o Elemento #1.
Passo 4
Agora, vamos analisar o Elemento #2 com a seguinte tabela:
| Tensão (V) | Corrente (A) |
|---|---|
| -80 | -5 |
| -32 | -2 |
| 0 | 0 |
| 48 | 3 |
| 96 | 6 |
Vamos tentar encontrar uma relação linear da forma:
onde $ m $ é a constante de proporcionalidade.
Passo 5
Calculando $ m $ com alguns pares de valores:
Usando I = 3 A e V = 48 V:
Verificando os outros pontos:
- Para I = -5 A e V = -80 V:
- Para I = -2 A e V = -32 V:
- Para I = 6 A e V = 96 V:
Todos os pontos confirmam que $ m = 16 $. Isso indica que a relação entre V e I para o Elemento #2 é linear e dada por:
Passo 6
Agora que identificamos as relações, vamos testar os princípios da superposição e da homogeneidade para confirmar a linearidade.
Princípio da Superposição: Em sistemas lineares, a resposta a múltiplas fontes é igual à soma das respostas individuais a cada fonte.
Como o Elemento #1 não é linear, não podemos aplicar a superposição. Já para o Elemento #2, como a relação é linear, a superposição vale.
Princípio da Homogeneidade: Em sistemas lineares, se a entrada é multiplicada por um escalar, a saída também é multiplicada pelo mesmo escalar.
Para o Elemento #2, se multiplicarmos a corrente $ i $ por um escalar $ a $:
Isso confirma que a homogeneidade é satisfeita.
Resposta
O Elemento #1 não é linear, pois a relação entre tensão e corrente não segue uma equação linear consistente. Já o Elemento #2 é linear, com a equação $ v = 16 \cdot i $, e satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade.