O enunciado pede os valores de para os quais a série
converge. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar o teste da raiz de Cauchy–Hadamard para encontrar o raio de convergência e depois checar o comportamento nos extremos.
Passo 2
Reconhecemos que se trata de uma série de potências centrada em com coeficientes
e termo geral .
Passo 3
Aplicando o teste da raiz, calculamos
A série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo o raio de convergência é R=1 e temos convergência para
|x-2|<1
Passo 4
Para x=3 (x-2=1), a série vira
sumn=0^infty 1n^2+1
Como 1n^2+1<=1n^2 e sumn=1^infty1n^2 converge, essa série converge absolutamente em x=3.
Passo 5
Para x=1 (x-2=-1), a série vira
sumn=0^infty (-1)^nn^2+1
Vale l|(-1)^n/(n^2+1)r|=1/(n^2+1)<=1/n^2 e como sum1/n^2 converge, essa também converge absolutamente em x=1.