Para quais valores de x as séries abaixo convergem?
sumn=0^infty (x-2)^nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
sumn=0^infty (x-2)^nn^2+1
converge. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar o teste da raiz de Cauchy–Hadamard para encontrar o raio de convergência e depois checar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Reconhecemos que se trata de uma série de potências centrada em x=2 com coeficientes
an=1n^2+1
e termo geral an,(x-2)^n.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz, calculamos
L=limsupntoinftyraiz[n]l|an,(x-2)^nr| =limntoinftyl|x-2r|,(n^2+1)^-1/n =|x-2|cdot1 =|x-2|
A série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo o raio de convergência é R=1 e temos convergência para
|x-2|<1

Passo 4

Para x=3 ( x-2=1), a série vira
sumn=0^infty 1n^2+1
Como 1n^2+1<=1n^2 e sumn=1^infty1n^2 converge, essa série converge absolutamente em x=3.

Passo 5

Para x=1 ( x-2=-1), a série vira
sumn=0^infty (-1)^nn^2+1
Vale l|(-1)^n/(n^2+1)r|=1/(n^2+1)<=1/n^2 e como sum1/n^2 converge, essa também converge absolutamente em x=1.

Resposta

A série converge para
1 <= x <= 3

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