(2,0 pontos) Durante um experimento de propagação de ondas eletromagnéticas em uma câmara de testes, dois materiais dielétricos homogêneos e isotrópicos foram posicionados de forma a preencher todo o espaço, com uma interface plana localizada em z=0. Para z >= 0, o meio possui permissividade relativa varepsilonr 1=2, e para z <= 0, varepsilonr 2=1. Um campo elétrico uniforme foi estabelecido no meio z >= 0, com a forma:
E1=4 x+3 z (em kV / m)
Dica: O tan ^-1(0,75) approx 36,87^0 e tan ^-1(1,50) approx 56,31^0.
(a) (1,0 ponto) Determine o vetor campo elétrico E2 no meio z <= 0.
(b) (1,0 ponto) Calcule os ângulos que os vetores E1 e E2 fazem com a interface.

Passo 1

O enunciado descreve dois meios dielétricos homogêneos e isotrópicos separados por uma interface plana em z=0. Para z>=0 temos varepsilonr1=2 e para z<=0 varepsilonr2=1. Foi estabelecido um campo uniforme
E1 = 4,x + 3,z(kV/m)
no meio z>=0. Precisamos achar (a) o campo E2 no meio z<=0 e (b) os ângulos que E1 e E2 fazem com o plano da interface. O conteúdo envolvido é a aplicação das condições de contorno de campos elétricos em dielétricos: continuidade da componente tangencial de E e continuidade da componente normal de D=varepsilonE.

Passo 2

Decompondo o campo em componentes tangencial (paralela ao plano z=0) e normal (perpendicular ao plano):
– Tangencial: componente ao longo de x e y. Aqui Eiy=0, então Eit=Eixx.
– Normal: componente ao longo de z, Ein=Eizz.

Passo 3

Aplicamos a condição de contorno da componente tangencial de E, que é contínua na interface (sem carga superficial livre):
E2x = E1x = 4(kV/m)

Passo 4

Aplicamos a condição de contorno da componente normal de D=varepsilon0varepsilonrE, sem carga livre na interface:
varepsilonr1,E1z = varepsilonr2,E2z
Substituindo varepsilonr1=2, varepsilonr2=1 e E1z=3, vem
E2z = 2cdot3 = 6(kV/m)
Logo
E2 = 4,x + 6,z(kV/m)

Passo 5

Para cada campo Ei, o ângulo thetai com o plano da interface satisfaz
tan(thetai) = |Eiz|raizEix^2 + Eiy^2
Como Eiy=0, calculamos
tan(theta1) = 34 = 0,75 Rightarrow theta1 approx 36,87^circ,
tan(theta2) = 64 = 1,5 Rightarrow theta2 approx 56,31^circ

Resposta

(a) E2 = 4,x + 6,z (kV/m)
(b) theta1 approx 36,87^circ e theta2 approx 56,31^circ

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