Para que valores de x tem-se
\operatorname{sen} x>\frac{1}{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que
\sin x > \frac{1}{2}.
Aqui o conteúdo é estudo de inequações trigonométricas e vamos usar o círculo trigonométrico e a periodicidade de \sin x.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos em que \sin x = \tfrac12 no intervalo fundamental [0,2\pi). No círculo trigonométrico esses pontos são
x = \frac{\pi}{6} \quad\text{e}\quad x = \frac{5\pi}{6}.
Entre esses valores, o seno fica acima de \tfrac12, ou seja
\sin x > \frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\bigl(\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{5\pi}{6}\bigr) \;\text{em}\;[0,2\pi).

Passo 3

Como \sin x é 2\pi-periódica, repetimos esse intervalo a cada 2\pi. Logo a solução geral é
x\in \bigl(\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\bigr) \quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\boxed{ \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \Bigl(\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\Bigr) }.

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