Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. Mostre que a integral de Fourier da onda plana para a partícula livre (onda piloto de De Broglie):
é solução da equação de Schroedinger (dependente do tempo), onde C é uma amplitude (em função de k) e
;
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo envolvido. Temos uma partícula quântica livre em uma dimensão, ou seja, sem a presença de um potencial externo. A função de onda dessa partícula é dada por uma integral de Fourier de ondas planas:
Queremos mostrar que essa função de onda é uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, a representação de onda plana e as relações entre os parâmetros
,
(momento),
(frequência angular) e
(energia).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (ou seja, sem potencial
):
Nosso objetivo é substituir a função de onda
na equação acima e verificar se a igualdade se mantém.
Passo 3
Vamos calcular a derivada temporal da função de onda
:
Multiplicando por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial da função de onda
:
Derivando novamente:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 5
Agora, temos que, para a equação de Schrödinger ser satisfeita:
Substituindo as expressões que encontramos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer função de onda
, os coeficientes devem ser iguais:
Simplificando, temos a relação de dispersão para uma partícula livre:
Passo 6
Além disso, sabemos que a energia
está relacionada à frequência angular
por
, e o momento
está relacionado a
por
. Substituindo essas relações na equação acima:
Essa é a expressão clássica para a energia cinética, o que confirma que nossa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula livre.
Resposta
Assim, mostramos que a integral de Fourier da onda plana
é de fato uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre.