Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. Mostre que a integral de Fourier da onda plana para a partícula livre (onda piloto de De Broglie):
psi(x, t)=integral C(k) e^i(k x-omega t) d k
é solução da equação de Schroedinger (dependente do tempo), onde C é uma amplitude (em função de k) e p=hbar k; E=hbar omega

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo envolvido. Temos uma partícula quântica livre em uma dimensão, ou seja, sem a presença de um potencial externo. A função de onda dessa partícula é dada por uma integral de Fourier de ondas planas:
psi(x, t) = integral C(k) e^i(k x - omega t) , dk
Queremos mostrar que essa função de onda é uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, a representação de onda plana e as relações entre os parâmetros k, p (momento), omega (frequência angular) e E (energia).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (ou seja, sem potencial V(x) = 0):
ihbar partial psi(x, t)partial t = -hbar^22m partial^2 psi(x, t)partial x^2
Nosso objetivo é substituir a função de onda psi(x, t) na equação acima e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal da função de onda psi(x, t):
partial psi(x, t)partial t = partialpartial t ( integral C(k) e^i(k x - omega t) , dk ) = integral C(k) cdot (-iomega) e^i(k x - omega t) , dk = -iomega psi(x, t)
Multiplicando por ihbar, temos:
ihbar partial psi(x, t)partial t = ihbar (-iomega) psi(x, t) = hbar omega psi(x, t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial da função de onda psi(x, t):
partial psi(x, t)partial x = partialpartial x ( integral C(k) e^i(k x - omega t) , dk ) = integral C(k) cdot (ik) e^i(k x - omega t) , dk = ik psi(x, t)
Derivando novamente:
partial^2 psi(x, t)partial x^2 = partialpartial x (ik psi(x, t)) = (ik)^2 psi(x, t) = -k^2 psi(x, t)
Multiplicando pelo fator -hbar^22m:
-hbar^22m partial^2 psi(x, t)partial x^2 = -hbar^22m (-k^2) psi(x, t) = hbar^2 k^22m psi(x, t)

Passo 5

Agora, temos que, para a equação de Schrödinger ser satisfeita:
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m partial^2 psipartial x^2
Substituindo as expressões que encontramos:
hbar omega psi(x, t) = hbar^2 k^22m psi(x, t)
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer função de onda psi(x, t), os coeficientes devem ser iguais:
hbar omega = hbar^2 k^22m
Simplificando, temos a relação de dispersão para uma partícula livre:
omega = hbar k^22m

Passo 6

Além disso, sabemos que a energia E está relacionada à frequência angular omega por E = hbar omega, e o momento p está relacionado a k por p = hbar k. Substituindo essas relações na equação acima:
E = p^22m
Essa é a expressão clássica para a energia cinética, o que confirma que nossa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula livre.

Resposta

Assim, mostramos que a integral de Fourier da onda plana psi(x, t) é de fato uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre.

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