Vapor d’água, a 2700 kPa e com uma qualidade de 0,90 , passa por uma expansão adiabática e reversível até 400 kPa , em um processo sem escoamento. Depois é aquecido a volume constante até se tornar vapor saturado. Determine Q e W para esse processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (isso aqui é só para organizar; peguei todos os dados do enunciado):
  • Pressão inicial: P_1=2700\\ \text{kPa}.
  • Qualidade inicial: x_1=0{,}90 (ou seja, estado inicial é mistura saturada).
  • Expansão adiabática reversível e sem escoamento até P_2=400\\ \text{kPa}.
  • Depois, aquecimento a volume específico constante até que o fluido se torne vapor saturado (estado final é vapor saturado).
    O que se pede:
  • Determinar o calor total Q trocado no processo composto (expansão adiabática reversível + aquecimento a volume constante).
  • Determinar o trabalho total W realizado pelo sistema no processo composto.

Passo 2

Resumo do método físico e equações fundamentais que vamos usar (passo-a-passo, explicando a teoria):
  • Trata-se de um sistema fechado (sem escoamento) com trabalho apenas de pressão–volume.
  • Primeira lei para sistema fechado, por unidade de massa:
\Delta u = q - w,
onde u é a energia interna específica, q é o calor específico recebido pelo sistema (por unidade de massa) e w é o trabalho específico feito pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
  • Para trabalho de pressão–volume reversível: \delta w = P\,dv e o trabalho total específico é w=\int P\,dv.
  • Relação de Gibbs (forma útil): T\,ds = du + P\,dv. Para um processo reversível adiabático (isto é, adiabático e reversível) temos ds=0 (isentrópico), então
du + P\,dv = 0 \quad\Rightarrow\quad P\,dv = -du.
Integrando, para o processo isentrópico reversível entre 1 e 2:
w_{1\to2}=\int_{1}^{2}P\,dv = -\int_{1}^{2}du = u_1 - u_2.
Como o processo 1→2 é adiabático, q_{1\to2}=0.
  • No aquecimento a volume constante (processo 2→3): dv=0\Rightarrow w_{2\to3}=0. Logo o calor específico trocado no aquecimento é simplesmente a variação de energia interna:
q_{2\to3}=u_3 - u_2.
  • Para o processo completo (1→2→3):
W_{\text{total}} = w_{1\to2}+w_{2\to3} = u_1 - u_2 + 0 = u_1 - u_2,
Q_{\text{total}} = q_{1\to2}+q_{2\to3} = 0 + (u_3 - u_2) = u_3 - u_2.
Portanto, tudo se reduz a determinar as energias internas específicas u_1,\\ u_2,\\ u_3 (por unidade de massa). Agora vamos ver como obter esses u usando as propriedades do vapor.

Passo 3

Estado 1 (dados diretamente da saturação em P_1=2700\\ \text{kPa}):
  • Estado 1 é mistura saturada com qualidade x_1=0{,}90.
  • Usando tabela de vapor saturado em P_1=2700\\ \text{kPa}, ler:
    • v_f(P_1) e v_g(P_1) (volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado).
    • u_f(P_1) e u_g(P_1) (energias internas específicas do líquido saturado e do vapor saturado).
    • s_f(P_1) e s_g(P_1) (entropias específicas do líquido e do vapor saturado).
  • A qualidade dá as propriedades do estado 1 por mistura:
v_1 = v_f(P_1) + x_1\,[v_g(P_1)-v_f(P_1)] = v_f(P_1) + x_1\,v_{fg}(P_1),
u_1 = u_f(P_1) + x_1\,[u_g(P_1)-u_f(P_1)] = u_f(P_1) + x_1\,u_{fg}(P_1),
s_1 = s_f(P_1) + x_1\,[s_g(P_1)-s_f(P_1)] = s_f(P_1) + x_1\,s_{fg}(P_1).
Aqui usei as notações v_{fg}=v_g-v_f, u_{fg}=u_g-u_f, s_{fg}=s_g-s_f. Pegue esses valores diretamente da tabela de vapor saturado para P_1=2700\\ \text{kPa} e calcule v_1,\\ u_1,\\ s_1.

Passo 4

Estado 2 (após expansão adiabática reversível até P_2=400\\ \text{kPa}):
  • Processo 1→2 é isentrópico (adiabático reversível), logo
s_2 = s_1.
  • Em P_2=400\\ \text{kPa} consulte a tabela de vapor saturado e leia s_f(P_2) e s_g(P_2).
    • Caso A (situação mais comum aqui): se s_f(P_2)\le s_1 \le s_g(P_2), então o estado 2 é uma mistura saturada. A qualidade em 2 é
    x_2 = \frac{s_1 - s_f(P_2)}{s_g(P_2) - s_f(P_2)} = \frac{s_1 - s_f(P_2)}{s_{fg}(P_2)}.Então calcule v_2 e u_2 por: v_2 = v_f(P_2) + x_2\,v_{fg}(P_2), \quad u_2 = u_f(P_2) + x_2\,u_{fg}(P_2).
    • Caso B: se s_1 > s_g(P_2), então o estado 2 é vapor superaquecido. Nesse caso, usar tabela de vapor superaquecido a P_2=400\\ \text{kPa} e procurar (por interpolação) a temperatura T_2 tal que s(T_2,P_2)=s_1. Depois obter v_2 e u_2 na tabela de superaquecido para P_2 e T_2.
  • Observação prática: normalmente, para uma isentrópica partindo de uma mistura com x_1=0{,}90 em pressão alta, ao expandir até 400 kPa o vapor tende a permanecer na região bifásica (isto é, caso A é o mais provável). Em qualquer caso, o procedimento acima define como obter u_2 e v_2.

Passo 5

Estado 3 (aquecimento a volume constante até vapor saturado):
  • O aquecimento é feito a v= constante igual a v_2.
  • O aquecimento é interrompido quando o fluido se torna vapor saturado (ou seja, quando a qualidade chega a x=1). Assim o estado 3 é vapor saturado com
v_3 = v_g(P_3) \quad\text{e}\quad v_3 = v_2.
  • Logo determinar P_3 tal que
v_g(P_3) = v_2.
Isto exige consultar a tabela de vapor saturado e, por interpolação entre pressões, achar a pressão P_3 cuja v_g coincide com v_2. (Se v_2 for exatamente igual a v_g(P_2) então P_3=P_2 e o estado 2 já era vapor saturado.)
  • Uma vez determinada P_3, a energia interna no estado 3 é simplesmente
u_3 = u_g(P_3).
(ler u_g na tabela de saturação em P_3).

Passo 6

Montando as fórmulas finais e instruções de cálculo:
  • Como deduzido no Passo 2, os resultados pedidos são
W_{\text{total}} = u_1 - u_2, \qquad Q_{\text{total}} = u_3 - u_2.
  • Em termos das entradas das tabelas, escrevendo explicitamente:
u_1 = u_f(P_1) + x_1\,u_{fg}(P_1),
\text{(determinar }x_2\text{ pela isentrópica: }x_2=\dfrac{s_1-s_f(P_2)}{s_{fg}(P_2)}\text{ se estiver na mistura; caso contrário usar tabela superaquecida para achar }u_2),óá
u_2 = u_f(P_2) + x_2\,u_{fg}(P_2)\quad\text{(se mistura)},
v_2 = v_f(P_2) + x_2\,v_{fg}(P_2)\quad\text{(se mistura)},
\text{encontre }P_3\text{ tal que }v_g(P_3)=v_2, \quad u_3 = u_g(P_3).
  • Depois calcule W_{\text{total}} e Q_{\text{total}} pelas fórmulas acima. Tudo isso requer leitura/interpolação de tabelas (saturadas e, se necessário, superaquecido).
Dicas práticas para fazer isso na prova sem erro:
  1. Use com calma a tabela de saturados em P_1=2700\\ \text{kPa} para obter u_f,u_g,s_f,s_g,v_f,v_g.
  2. Calcule s_1 e v_1 com a fórmula da mistura; guarde s_1.
  3. Vá para P_2=400\\ \text{kPa} e leia s_f(P_2), s_g(P_2). Compare com s_1. Se s_1 estiver entre, calcule x_2. Se s_1 > s_g(P_2), remova a parte de mistura e use tabela superaquecida a P_2 para achar T_2 que dá s_1.
  4. Depois de obter u_2 e v_2, encontre P_3 na tabela saturada tal que v_g(P_3)=v_2 (interpolando se necessário), e então leia u_g(P_3)=u_3.
  5. Por fim aplique W=u_1-u_2 e Q=u_3-u_2. Num problema de prova, mostre todas as leituras/interpolação na tabela.

Passo 7

Exemplo simbólico final (pronto para preencher com valores das tabelas):
  • Leia das tabelas:
    • em P_1=2700\\ \text{kPa}: u_f(P_1),\\ u_g(P_1),\\ s_f(P_1),\\ s_g(P_1),\\ v_f(P_1),\\ v_g(P_1).
    • em P_2=400\\ \text{kPa}: u_f(P_2),\\ u_g(P_2),\\ s_f(P_2),\\ s_g(P_2),\\ v_f(P_2),\\ v_g(P_2).
  • Calcule:
u_1 = u_f(P_1) + 0{,}90\,\bigl[u_g(P_1)-u_f(P_1)\bigr],
s_1 = s_f(P_1) + 0{,}90\,\bigl[s_g(P_1)-s_f(P_1)\bigr].
  • Determine x_2 por
x_2 = \frac{s_1 - s_f(P_2)}{s_g(P_2)-s_f(P_2)}\quad\text{(se }s_f(P_2)\le s_1\le s_g(P_2)\text{)}.
  • Então
u_2 = u_f(P_2) + x_2\,\bigl[u_g(P_2)-u_f(P_2)\bigr], \quad v_2 = v_f(P_2) + x_2\,\bigl[v_g(P_2)-v_f(P_2)\bigr].
  • Ache P_3 tal que v_g(P_3)=v_2 (interpolando tabela de saturação), e então
u_3 = u_g(P_3).
  • Finalmente:
W_{\text{total}} = u_1 - u_2, \qquad Q_{\text{total}} = u_3 - u_2.

Resposta

W_{\text{total}} = u_1 - u_2 = \bigl[u_f(2700\\ \text{kPa}) + 0{,}90\,u_{fg}(2700\\ \text{kPa})\bigr] - \bigl[u_f(400\\ \text{kPa}) + x_2\,u_{fg}(400\\ \text{kPa})\bigr]
Q_{\text{total}} = u_3 - u_2 = u_g(P_3) - \bigl[u_f(400\\ \text{kPa}) + x_2\,u_{fg}(400\\ \text{kPa})\bigr]
(onde x_2=(s_1-s_f(400\\ \text{kPa}))/s_{fg}(400\\ \text{kPa}), s_1=s_f(2700\\ \text{kPa})+0{,}90\,s_{fg}(2700\\ \text{kPa}), e P_3 é a pressão de saturação tal que v_g(P_3)=v_2.)

Exercícios relacionados