Vapor d’água contido em um conjunto pistão cilindro é submetido a uma expansão isotérmica a 240^{\circ} \mathrm{C} de uma pressão de 7 bar até uma pressão de 3 bar. Avalie o trabalho e a transferência de calor, em kJ/kg.
\begin{aligned} & \mathrm{p}_{1}=700[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{T}_{1}=240[\mathrm{C}] \\\ & \mathrm{v}_{1}=\mathrm{v}\left(\text { 'Water' } ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{1} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{1}\right) \\\ & \mathrm{u}_{1}=\mathbf{u}\left(\text { 'Water' } ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{1} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{1}\right) \\\ & \mathrm{p}_{2}=300[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{T}_{2}=\mathrm{T}_{1} \\\ & \mathrm{v}_{2}=\mathbf{v}\left(\text { 'Water' } ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{2} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{2}\right) \\\ & \mathrm{u}_{2}=\mathbf{u}\left(\text { 'Water' } ; \mathrm{P}=\mathrm{p}_{2} ; \mathrm{T}=\mathrm{T}_{2}\right) \end{aligned}
\begin{aligned} & p_{1} \cdot v_{1}{ }^{n}=p_{2} \cdot v_{2}{ }^{n} \\\ & w_{m}=\frac{p_{2} \cdot v_{2}-p_{1} \cdot v_{1}}{1-n} \\\ & u_{2}-u_{1}=Q_{m}-W_{m} \end{aligned}
Sort
\mathrm{p}_{\mathrm{i}}
[\mathrm{kPa}]
\mathrm{T}_{\mathrm{i}}
[\mathrm{C}]
\mathrm{v}_{\mathrm{i}}
\left[\mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg}\right]
\mathrm{u}_{\mathrm{i}}
[\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}]
[1]
[2] 300 240 0,7804 2713

Unit Settings: SI C kPa kJ mass deg

\mathrm{n}=0,9813[-] \quad \mathrm{Q}_{\mathrm{m}}=211,9\left[\mathrm{~kJ} / \mathrm{kgW}_{\mathrm{m}}=200,5[\mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}]\right.
p[1] = 700 [kPa]
T[1] = 240 [C]
v[1] = Volume(Water;p=p[1];T=T[1])
u[1] = IntEnergy(Water;p=p[1];T=T[1])
p[2] = 300 [kPa]
T[2] = T[1]
v[2] = Volume(Water;p=p[2];T=T[2])
u[2] = IntEnergy(Water;p=p[2];T=T[2])
p[1]*v[1]^n = p[2]*v[2]^n
W_m = (p[2]*v[2]-p[1]*v[1])/(1-n)
(u[2]-u[1]) = Q_m - W_m

Passo 1

O enunciado descreve vapor d’água em um pistão-cilindro que sofre expansão isotérmica a 240^\circ\mathrm{C} de p_{1}=700\:\mathrm{kPa} até p_{2}=300\:\mathrm{kPa}. Dos dados de propriedade temos
\displaystyle v_{1}=0,3291\:\mathrm{m^{3}/kg},\;u_{1}=2701\:\mathrm{kJ/kg} em (p_{1},T) \displaystyle v_{2}=0,7804\:\mathrm{m^{3}/kg},\;u_{2}=2713\:\mathrm{kJ/kg} em (p_{2},T)
Queremos o trabalho específico W_{m} e o calor específico Q_{m}. Usaremos a aproximação politrópica
p\,v^{n}=\text{constante},
o trabalho
W_{m}=\frac{p_{2}v_{2}-p_{1}v_{1}}{1-n},
e a primeira lei na forma
u_{2}-u_{1}=Q_{m}-W_{m}.

Passo 2

Determinar o expoente politrópico n da relação p_{1}v_{1}^{n}=p_{2}v_{2}^{n}. Tomando logaritmo,
n \;=\;\frac{\ln(p_{2}/p_{1})}{\ln(v_{1}/v_{2})} =\frac{\ln\bigl(300/700\bigr)}{\ln\bigl(0{,}3291/0{,}7804\bigr)} \approx0{,}9813.

Passo 3

Calcular o trabalho específico W_{m}. Como p em kPa e v em \mathrm{m^{3}/kg}, p\,v já está em \mathrm{kJ/kg}. Logo,
W_{m} =\frac{p_{2}v_{2}-p_{1}v_{1}}{1-n} =\frac{300\cdot0{,}7804-700\cdot0{,}3291}{1-0{,}9813} \approx200{,}5\:\mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

Usar a primeira lei para achar Q_{m}. Como
u_{2}-u_{1}=2713-2701=12\:\mathrm{kJ/kg},
então
Q_{m}=W_{m}+(u_{2}-u_{1}) =200{,}5+12 =212{,}5\:\mathrm{kJ/kg}.
(Observação: devido a arredondamentos a tabela de propriedade pode dar Q_{m}\approx211{,}9\:\mathrm{kJ/kg}.)

Resposta

W_{m}\approx200{,}5\:\mathrm{kJ/kg} Q_{m}\approx212{,}5\:\mathrm{kJ/kg}

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