O que é a variância? O que ele mede?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar o que é a variância.
- Explicar o que a variância mede.
Informações dadas:
- Nenhuma informação numérica foi fornecida; é uma pergunta conceitual.
Passo 2
Definição formal (distribuição ou população). Vou começar definindo de forma direta e depois explico cada símbolo.
A variância de uma variável aleatória é
A variância de uma variável aleatória
onde
é a esperança (média) de
e
significa valor esperado (média teórica).
Explicando cada parte:
Explicando cada parte:
-
é a média de : a soma (ou integral) dos valores de ponderada pelas suas probabilidades. -
é o desvio de em relação à média. -
é o quadrado desse desvio (toma sempre valor não negativo e penaliza desvios maiores). - A esperança
de é a média desses quadrados dos desvios — isso dá a variância.
Passo 3
Versão para amostra de dados (quando temos observações finitas). Para dados
com média amostral
, existem duas fórmulas úteis:
- Variância populacional (quando se trata de toda a população)
- Variância amostral corrigida (estimador imparcial da variância da população)
A diferença é o divisor:
para a população,
para estimar a variância da população a partir de uma amostra (correção de Bessel).
Passo 4
Interpretação intuitiva do que a variância mede. Em palavras simples:
- A variância mede a dispersão dos valores em torno da média; é a “média dos quadrados dos desvios”.
- Quanto maior a variância, mais espalhados estão os dados em relação à média.
- Como usa quadrados, a variância tem unidades ao quadrado (por exemplo, se os dados estão em metros,
está em metros ao quadrado), por isso costuma-se usar o desvio padrão para leitura na mesma unidade.
Passo 5
Relação com o desvio padrão e fórmula alternativa. O desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Fórmula útil para cálculo:
Para amostra:
é equivalente à variância populacional e às vezes é mais fácil computar por soma de quadrados.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (dados pequenos, fácil de fazer sem calculadora). Considere os dados
.
- Calcular a média:
- Calcular os desvios e seus quadrados:
- Somar os quadrados:
. - Variância populacional:
- Variância amostral (estimador imparcial):
Observação: usando a fórmula alternativa,
, e então
, que confere.
Passo 7
Propriedades importantes e dicas para prova:
-
; se, e somente se, é praticamente constante. - Escala:
. Assim, multiplicar os dados por multiplica a variância por . - Soma de independentes: se
e são independentes, . - A variância é sensível a outliers (porque usa quadrados) — isso é vantagem quando se quer penalizar grandes desvios, mas uma desvantagem se houver valores extremos indesejados.
Dica prática na prova: calcule a média, depois some os quadrados dos desvios; se for estimar a variância da população a partir de amostra use o divisor.
Passo 8
Resumo didático curto (para ficar na cabeça): pense na variância como “a média dos quadrados das distâncias dos pontos até a média”. É a medida padrão de quão espalhados estão os dados, usando quadrados para que desvios positivos e negativos não se cancelem e para acentuar desvios maiores.
Resposta
A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média e pode ser escrita como
.
Ela mede a dispersão dos valores em torno da média (ou seja, o quanto os dados estão espalhados); valores maiores de variância indicam maior espalhamento.
Ela mede a dispersão dos valores em torno da média (ou seja, o quanto os dados estão espalhados); valores maiores de variância indicam maior espalhamento.