Variáveis Complexas
Como um número complexo é representado na forma de Euler?

Passo 1

O enunciado pede para representarmos um número complexo na forma de Euler, que é um modo de expressar qualquer número complexo usando sua módulo e seu argumento. Para isso, vamos precisar conhecer como passar da forma cartesiana z = a + \mathrm{i}b para a forma polar z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) e, em seguida, usar a fórmula de Euler.

Passo 2

Dado um número complexo na forma cartesiana z = a + \mathrm{i}b, definimos:
r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}},
\theta = \arg(z) = \begin{cases} \arctan\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr), & a>0,\\\ \arctan\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)+\pi, & a<0\text{ e }b\ge0,\\\ \arctan\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)-\pi, & a<0\text{ e }b<0,\\\\ +\tfrac{\pi}{2}, & a=0\text{ e }b>0,\\\\ -\tfrac{\pi}{2}, & a=0\text{ e }b<0. \end{cases}
Com isso, podemos escrever
a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta,
o que leva à forma polar
z = r\bigl(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Euler
e^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta.
Substituindo em z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta), obtemos diretamente
z = r\,e^{\mathrm{i}\theta}.

Resposta

Na forma de Euler, qualquer número complexo z é representado por
z = r\,e^{\mathrm{i}\theta},
onde r = |z| é o módulo e \theta = \arg(z) é o argumento de z.

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