Variáveis Complexas
Como é feita a multiplicação e divisão de números complexos?

Passo 1

O enunciado pergunta como realizar a multiplicação e a divisão de números complexos. Vamos tratar números na forma algébrica (a+bi), onde a,b\in\mathbb{R} e i^2=-1. Para a divisão, precisaremos também do conceito de conjugado de um complexo.

Passo 2

Para multiplicar dois complexos (a+bi) e (c+di) usamos a distributiva, lembrando que i^2=-1. Assim,
(a+bi)(c+di) = a\cdot c + a\cdot di + bi\cdot c + bi\cdot di = ac + adi + bci + bdi^2.
Como i^2=-1, fica
ac + (ad+bc)i + bd(-1) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i.

Passo 3

Para dividir \displaystyle\frac{a+bi}{c+di}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é c-di. Assim,
\frac{a+bi}{c+di} \cdot\frac{c-di}{c-di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}.
No denominador aparece c^2-(di)^2=c^2+d^2. No numerador aplicamos a multiplicação do passo anterior:
(a+bi)(c-di) =(ac + bd) + (bc - ad)\,i.
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\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(ac+bd) + (bc - ad)\,i}{c^2 + d^2}.

Resposta

Multiplicação:
(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i.
Divisão:
\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(ac+bd) + (bc - ad)\,i}{c^2 + d^2}.

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