Uma variável aleatória contínua possui a seguinte f.d.p.:
f(x)= 0, & se x<-1 ou x >= 43 12(1-x^2), & se -1 <= x<0 12, & se 0 <= x<43
Faça o que se pede: Encontre P(-0,5 <= x <= 0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida em pedaços. O que a gente precisa descobrir é a probabilidade de que essa variável esteja entre -0,5 e 0,5. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais, já que estamos lidando com funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade dada:
f(x)= 0, & se x < -1 ou x >= 43 12(1 - x^2), & se -1 <= x < 0 12, & se 0 <= x < 43
Isso significa que a função tem diferentes expressões dependendo do intervalo de . Para calcular a probabilidade de estar entre -0,5 e 0,5, vamos precisar integrar essa função nesse intervalo.

Passo 3

Dividimos o intervalo de -0,5 a 0,5 em duas partes, porque a função densidade muda em :
  1. De -0,5 a 0
  2. De 0 a 0,5
Assim, a probabilidade total será a soma das integrais dessas duas partes.

Passo 4

Vamos calcular a integral de -0,5 a 0 usando a primeira parte da f.d.p.:
integral-0,5^0 12(1 - x^2) dx
Integrando cada termo:
12 integral-0,5^0 1 dx - 12 integral-0,5^0 x^2 dx
Calculando cada integral:
  • 0,25 - 0,0208333 = 0,2291667
Subtraindo:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de 0 a 0,5 usando a segunda parte da f.d.p.:
integral0^0,5 12 dx
Essa integral é simples:
12 times (0,5 - 0) = 12 times 0,5 = 0,25

Passo 6

Somamos as duas probabilidades calculadas:
0,2291667 + 0,25 = 0,4791667

Resposta

A probabilidade de é aproximadamente 0,4792.

Exercícios relacionados