Uma variável aleatória (v.a.) contínua tem função de densidade de probabilidade (f.d.p.)
fX(x)=e^-x cdot I(x)[0, infty]
Qual a probabilidade de X>2?

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com a função de densidade de probabilidade dada por $ f_X(x) = e^{-x} $ para $ x \geq 0 $. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de $ X $ ser maior que 2, ou seja, $ P(X > 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de densidade e integrar a função no intervalo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de densidade $ f_X(x) $. Ela nos diz como as probabilidades estão distribuídas ao longo dos valores de $ X $. No caso, $ f_X(x) = e^{-x} $ para $ x \geq 0 $ e zero para valores menores que zero. Isso significa que a probabilidade de $ X $ assumir valores maiores aumenta à medida que $ x $ diminui.

Passo 3

Para encontrar $ P(X > 2) $, precisamos calcular a área sob a curva da função de densidade de $ X $ a partir de $ x = 2 $ até o infinito. Matematicamente, isso é representado pela integral:
P(X > 2)

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A antiderivada de $ e^{-x} $ é $ -e^{-x} $. Então, avaliando de 2 até o infinito:
e^-x

Passo 5

Agora, é só calcular o valor numérico de $ e^{-2} $:
e^-2

Resposta

A probabilidade de $ X > 2 $ é $ e^{-2} $ ou aproximadamente $ 0,1353 $.

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