Um vaso inicialmente dividido em duas partes por uma partição, contém 4 mols de nitrogênio a
e 30 bar num lado e noutro 2,5 mols de argônio a
e 20 bar. Quando a partição é removida, qual a variação de entropia? Assuma que capacidade calorífica do nitrogênio é 5/2 R e do argônio 3/2 R.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vaso dividido em duas partes por uma partição. De um lado, temos 4 mols de nitrogênio (N₂) a 75°C e 30 bar. Do outro lado, temos 2,5 mols de argônio (Ar) a 130°C e 20 bar. Quando a partição é removida, queremos saber qual é a variação de entropia desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados à entropia e às propriedades dos gases ideais. Vamos precisar das capacidades caloríficas fornecidas: para o nitrogênio, $ C_V = \frac{5}{2} R $, e para o argônio, $ C_V = \frac{3}{2} R $.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, pois as equações termodinâmicas usam a escala Kelvin. Lembre-se que $ T(K) = T(°C) + 273,15 $.
Para o nitrogênio:
Para o argônio:
Passo 3
Agora, vamos calcular a entropia de cada gás antes da remoção da partição. A entropia para um gás ideal pode ser calculada usando a fórmula:
Mas como a partição é removida e os gases se misturam, precisamos considerar que o volume total disponível para cada gás muda. Assumindo que o volume total $ V $ é constante e que a pressão final será a mesma para ambos os gases, podemos usar a relação dos gases ideais:
Passo 4
Vamos determinar o volume total antes da remoção da partição. Como os gases estão em compartimentos separados, o volume total $ V $ é a soma dos volumes de cada compartimento.
Para o nitrogênio:
Para o argônio:
Então, o volume total:
Passo 5
Após a remoção da partição, ambos os gases ocupam o volume total $ V $ e estarão na mesma temperatura e pressão finais $ T_f $ e $ P_f $. Como o número total de mols é $ n_{total} = n_1 + n_2 = 6,5 $ mol, podemos usar a equação dos gases ideais para encontrar $ T_f $:
Mas também temos que a energia interna dos gases deve ser conservada, já que não há troca de calor com o ambiente. A energia interna $ U $ para cada gás é:
Para o nitrogênio:
Para o argônio:
A energia interna total antes e depois deve ser igual:
Aqui, $ C_V $ é a capacidade calorífica média ponderada.
Passo 6
Calculando a energia interna total antes da mistura:
Para o nitrogênio:
Para o argônio:
Somando:
Igualando à energia interna após a mistura:
Resolvendo para $ T_f $:
Passo 7
Agora, com $ T_f $ conhecido, podemos calcular a entropia final do sistema. A variação de entropia $ \Delta S $ é dada pela soma das variações de entropia de cada gás:
Para cada gás:
Como $ V_f $ é o novo volume disponível para cada gás:
E originalmente:
$$ V_i ) é o volume de cada compartimento antes da remoção.
Passo 8
Vamos substituir os valores na equação de $ \Delta S $:
Para o nitrogênio:
[ \Delta S_1 = 4 \times \frac{5}{2} R \ln\left(\frac{T_f}{348}\right) + 4 R \ln\left(\frac{V}{V_1}\right) $$
Para o argônio:
Somando:
Passo 9
Finalmente, calculamos $ \Delta S $ substituindo $ T_f $ e os volumes $ V_1 $ e $ V_2 $ que encontramos anteriormente. Simplificamos os termos e obtemos a variação total de entropia do sistema após a remoção da partição.
Resposta
A variação total de entropia quando a partição é removida é dada por:
Onde $ T_f $ é a temperatura final calculada e $ V $ é o volume total do sistema após a remoção da partição.