Se
, calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor:
- Dados:
. - Normas:
, , . - Pedido: calcular
.
Guarde essas três informações — vamos usá‑las todas.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar uma fórmula útil. Para qualquer vetor
temos
. Além disso, o produto escalar é bilinear e comutativo, então ao expandir o quadrado da soma de vetores aparece soma dos quadrados das normas mais duas vezes as somas dos produtos escalares pares.
Escrevendo isso para
obtemos a identidade abaixo (cada passo da igualdade é justificado pela definição do produto escalar e pela distributividade):
Aqui eu usei apenas a propriedade de que o produto escalar é linear em cada argumento e que
.
Passo 3
Agora aplicamos a informação do enunciado
. O lado esquerdo da identidade do passo anterior é então a norma ao quadrado do vetor nulo, que vale zero:
Defina a quantidade que queremos como
Substituindo na identidade obtemos
Passo 4
Isolando
na equação anterior temos
Ou seja, basta calcular a soma dos quadrados das normas e multiplicar por
.
Passo 5
Calculemos a soma das normas ao quadrado usando os valores dados:
Somando:
Passo 6
Finalmente substituímos na fórmula de
:
Portanto o valor pedido é
.