Se vec{u}+vec{v}+vec{w}=\overrightarrow{0},||vec{u}||=\frac{3}{2},||vec{v}||=\frac{1}{2},||vec{w}||=2, calcule
vec{u} \cdot vec{v}+vec{v} \cdot vec{w}+vec{w} \cdot vec{u}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor:
  • Dados: \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}.
  • Normas: \lVert \vec{u}\rVert=\dfrac{3}{2}, \lVert \vec{v}\rVert=\dfrac{1}{2}, \lVert \vec{w}\rVert=2.
  • Pedido: calcular \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}.
Guarde essas três informações — vamos usá‑las todas.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar uma fórmula útil. Para qualquer vetor \vec{a} temos \lVert \vec{a}\rVert^2=\vec{a}\cdot\vec{a}. Além disso, o produto escalar é bilinear e comutativo, então ao expandir o quadrado da soma de vetores aparece soma dos quadrados das normas mais duas vezes as somas dos produtos escalares pares.
Escrevendo isso para \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} obtemos a identidade abaixo (cada passo da igualdade é justificado pela definição do produto escalar e pela distributividade):
\lVert \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\rVert^2 = (\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})
= \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}+\vec{w}\cdot\vec{w} +2(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u})
= \lVert \vec{u}\rVert^2+\lVert \vec{v}\rVert^2+\lVert \vec{w}\rVert^2 +2\big(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}\big).
Aqui eu usei apenas a propriedade de que o produto escalar é linear em cada argumento e que \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.

Passo 3

Agora aplicamos a informação do enunciado \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}. O lado esquerdo da identidade do passo anterior é então a norma ao quadrado do vetor nulo, que vale zero:
\lVert \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\rVert^2 = \lVert \overrightarrow{0}\rVert^2 = 0.
Defina a quantidade que queremos como
S=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}.
Substituindo na identidade obtemos
0=\lVert \vec{u}\rVert^2+\lVert \vec{v}\rVert^2+\lVert \vec{w}\rVert^2+2S.

Passo 4

Isolando S na equação anterior temos
S=-\dfrac{1}{2}\big(\lVert \vec{u}\rVert^2+\lVert \vec{v}\rVert^2+\lVert \vec{w}\rVert^2\big).
Ou seja, basta calcular a soma dos quadrados das normas e multiplicar por -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calculemos a soma das normas ao quadrado usando os valores dados:
\lVert \vec{u}\rVert^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}, \qquad \lVert \vec{v}\rVert^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}, \qquad \lVert \vec{w}\rVert^2=2^2=4=\dfrac{16}{4}.
Somando:
\lVert \vec{u}\rVert^2+\lVert \vec{v}\rVert^2+\lVert \vec{w}\rVert^2 =\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{16}{4} =\dfrac{9+1+16}{4}=\dfrac{26}{4}=\dfrac{13}{2}.

Passo 6

Finalmente substituímos na fórmula de S:
S=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{13}{2}=-\dfrac{13}{4}.
Portanto o valor pedido é -\dfrac{13}{4}.

Resposta

-\dfrac{13}{4}