Se a velocidade de um caminhão que parte da posição r0=(3 imath+7 jmath) m é dada em função do tempo como
v(t)=[(2 t+1) imath-4 t jmath] m / s
Qual é seu vetor posição depois em t=3 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição inicial do caminhão, que é r0=(3 imath+7 jmath) m, e a velocidade dele em função do tempo:
v(t)=[(2 t+1) imath-4 t jmath] m / s
O conteúdo que vamos usar aqui é cinemática vetorial, especificamente como a posição muda com o tempo a partir da velocidade. Para resolver, vamos precisar integrar a função da velocidade para encontrar a função da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição r(t) pode ser encontrada integrando a velocidade v(t) em relação ao tempo e somando a posição inicial r0. Em fórmula:
r(t) = r0 + integral0^t v(tau) , dtau
Aqui, tau é uma variável de integração que representa o tempo.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente. A velocidade tem duas componentes:
  • Na direção imath: vx(t) = 2t + 1
  • Na direção jmath: vy(t) = -4t
Integrando vx(t):
integral (2t + 1) , dt = t^2 + t + Cx
Como estamos integrando de 0 a t, a constante de integração Cx é zero.
Integrando vy(t):
integral (-4t) , dt = -2t^2 + Cy
Novamente, a constante de integração Cy é zero.

Passo 4

Agora, substituímos os limites da integração, que vão de 0 a 3 segundos:
Para a componente imath:
t^2 + t |0^3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 m
Para a componente jmath:
-2t^2 |0^3 = -2(3)^2 = -2 times 9 = -18 m

Passo 5

Agora, somamos esses resultados à posição inicial r0:
r(3) = r0 + (12 imath - 18 jmath) m
Substituindo r0 = 3 imath + 7 jmath:
r(3) = (3 + 12) imath + (7 - 18) jmath = 15 imath - 11 jmath m

Resposta

Após t=3 s, o vetor posição do caminhão é r(3) = 15 imath - 11 jmath m.

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