Qual a velocidade de deriva dos elétrons de condução de um fio de cobre com raio r = 900 [micro metros], percorrido por uma corrente de 17 miliamperes? Suponha que cada átomo de cobre contribua com um elétron e que a densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio.
a) Calcular J.
b) Calcular vd.Dados: rho = 8960 kg/m^3, M = 63,54 x 10^-3 kg/mol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a densidade de corrente $ J $ e a velocidade de deriva $ v_d $ dos elétrons em um fio de cobre. Vamos precisar usar conceitos de eletrodinâmica, como densidade de corrente e velocidade de deriva, além de algumas informações sobre propriedades do cobre, como sua densidade e massa molar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de corrente $ J $. A densidade de corrente é definida como a corrente elétrica $ I $ dividida pela área da seção transversal $ A $ do fio. A fórmula é:
J

Passo 3

Vamos encontrar a área da seção transversal $ A $ do fio de cobre. O fio tem formato cilíndrico, então a área é dada por:
A
Onde $ r $ é o raio do fio. Dado que $ r = 900 \ \mu m = 900 \times 10^{-6} $ metros, substituindo na fórmula:
A = pi r^2

Passo 4

Calculando a área:
A = pi times (900 times 10^-6)^2 = pi times 810000 times 10^-12 = pi times 8.1 times 10^-7 approx 2.548 times 10^-6 m^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de corrente $ J $ usando a corrente $ I = 17 $ miliamperes $ = 17 \times 10^{-3} $ A:
J

Passo 6

Pronto, calculamos $ J $. Agora vamos para a velocidade de deriva $ v_d $. A velocidade de deriva pode ser encontrada usando a fórmula:
J
Onde:
  • $ I $ é a corrente,
  • $ n $ é a densidade de elétrons (número de elétrons por metro cúbico),
  • $ e $ é a carga elementar $ \approx 1.6 \times 10^{-19} $ C,
  • $ A $ é a área da seção transversal.

Passo 7

Precisamos encontrar $ n $, a densidade de elétrons. Sabemos que cada átomo de cobre contribui com um elétron e temos a densidade de massa $ \rho = 8960 \ kg/m^3 $ e a massa molar $ M = 63.54 \times 10^{-3} \ kg/mol $. Primeiro, encontramos o número de mols por metro cúbico:
n

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo número de Avogadro $ N_A \approx 6.022 \times 10^{23} $ elétrons/mol para encontrar $ n $:
NA approx 6.022 times 10^23 é

Passo 9

Com $ n $, $ I $, $ e $ e $ A $ conhecidos, podemos calcular $ v_d $:
n

Passo 10

Fazendo as contas:
vd = 17 times 10^-38.49 times 10^28 times 1.6 times 10^-19 times 2.548 times 10^-6 approx 4.8 times 10^-5 m/s

Resposta

A densidade de corrente $ J $ é aproximadamente $ 6.68 \times 10^3 \ A/m^2 $ e a velocidade de deriva $ v_d $ dos elétrons é cerca de $ 4.8 \times 10^{-5} \ m/s $.

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