Qual a velocidade de deriva dos elétrons de condução de um fio de cobre com raio r = 900 [micro metros], percorrido por uma corrente de 17 miliamperes? Suponha que cada átomo de cobre contribua com um elétron e que a densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio.
a) Calcular J.
b) Calcular vd.Dados: rho = 8960 kg/m^3, M = 63,54 x 10^-3 kg/mol.
a) Calcular J.
b) Calcular vd.Dados: rho = 8960 kg/m^3, M = 63,54 x 10^-3 kg/mol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a densidade de corrente $ J $ e a velocidade de deriva $ v_d $ dos elétrons em um fio de cobre. Vamos precisar usar conceitos de eletrodinâmica, como densidade de corrente e velocidade de deriva, além de algumas informações sobre propriedades do cobre, como sua densidade e massa molar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade de corrente $ J $. A densidade de corrente é definida como a corrente elétrica $ I $ dividida pela área da seção transversal $ A $ do fio. A fórmula é:
Passo 3
Vamos encontrar a área da seção transversal $ A $ do fio de cobre. O fio tem formato cilíndrico, então a área é dada por:
Onde $ r $ é o raio do fio. Dado que $ r = 900 \ \mu m = 900 \times 10^{-6} $ metros, substituindo na fórmula:
Passo 4
Calculando a área:
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade de corrente $ J $ usando a corrente $ I = 17 $ miliamperes $ = 17 \times 10^{-3} $ A:
Passo 6
Pronto, calculamos $ J $. Agora vamos para a velocidade de deriva $ v_d $. A velocidade de deriva pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde:
- $ I $ é a corrente,
- $ n $ é a densidade de elétrons (número de elétrons por metro cúbico),
- $ e $ é a carga elementar $ \approx 1.6 \times 10^{-19} $ C,
- $ A $ é a área da seção transversal.
Passo 7
Precisamos encontrar $ n $, a densidade de elétrons. Sabemos que cada átomo de cobre contribui com um elétron e temos a densidade de massa $ \rho = 8960 \ kg/m^3 $ e a massa molar $ M = 63.54 \times 10^{-3} \ kg/mol $. Primeiro, encontramos o número de mols por metro cúbico:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo número de Avogadro $ N_A \approx 6.022 \times 10^{23} $ elétrons/mol para encontrar $ n $:
Passo 9
Com $ n $, $ I $, $ e $ e $ A $ conhecidos, podemos calcular $ v_d $:
Passo 10
Fazendo as contas:
Resposta
A densidade de corrente $ J $ é aproximadamente $ 6.68 \times 10^3 \ A/m^2 $ e a velocidade de deriva $ v_d $ dos elétrons é cerca de $ 4.8 \times 10^{-5} \ m/s $.