© Com que velocidade um objeto se choca contra o planeta, se ele for largado de um ponto situado a 1500 km do centro do planeta? (Dica: lembre que
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é largado de um ponto a 1500 km do centro de um planeta e queremos descobrir com que velocidade ele vai se chocar contra esse planeta. A matéria envolvida aqui é a Gravitação Universal, e vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a distância de 1500 km para metros para facilitar os cálculos:
Passo 3
Sabemos que a aceleração da gravidade na superfície do planeta é:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa do planeta e
é o raio do planeta.
Passo 4
Vamos usar a conservação da energia. A energia total no ponto de largada é igual à energia total no ponto de impacto. No ponto de largada, o objeto tem energia potencial gravitacional e sem energia cinética (já que parte do repouso). No impacto, toda essa energia potencial é convertida em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
E a energia cinética é:
Passo 5
Aplicando a conservação da energia:
Como
e
, substituímos:
Passo 6
Simplificando e resolvendo para
:
Dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando por 2:
Passo 7
Vamos relacionar
com
:
Sabemos que:
Então,
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo
e rearranjando:
Resposta
A velocidade com que o objeto se choca contra o planeta é:
Para obter um valor numérico, seria necessário conhecer o raio
do planeta. Com essa expressão, você pode inserir o valor de
e calcular
.