Se a velocidade de uma reação aparentemente duplica quando a temperatura é aumentada de 10^{\circ} \mathrm{C}, qual deve ser a energia de ativação no caso da temperatura inicial ser de
(b) 500^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade de uma reação aparentemente dobra quando a temperatura é aumentada em 10^\circ \mathrm{C}. Pergunta: qual deve ser a energia de ativação E_a quando a temperatura inicial é 500^\circ \mathrm{C}?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Fator de aumento da velocidade: \dfrac{k_2}{k_1}=2.
  • Variação de temperatura: \Delta T = 10^\circ \mathrm{C} (ou seja, 10 K).
  • Temperatura inicial: T_1 = 500^\circ \mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_2 = T_1 + 10^\circ \mathrm{C}.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): a dependência da constante de velocidade k com a temperatura é dada pela equação de Arrhenius. A equação de Arrhenius é
k = A \, e^{-E_a/(R T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade da reação;
  • A é o fator pré-exponencial (constante para a reação);
  • E_a é a energia de ativação (o que queremos);
  • R é a constante universal dos gases (valor R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K).\n
    Explicando: a expressão mostra que k cresce quando T aumenta, e a sensibilidade dessa variação depende de E_a. Para comparar duas temperaturas, usamos a razão k_2/k_1.

Passo 3

Derivação da fórmula útil: tomando a razão entre as constantes em duas temperaturas e aplicando logaritmo natural, obtemos
\frac{k_2}{k_1} = \frac{A e^{-E_a/(R T_2)}}{A e^{-E_a/(R T_1)}} = e^{-E_a/(R T_2) + E_a/(R T_1)} = e^{\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)}.
Aplicando o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).

Passo 4

Isolando E_a e substituindo \dfrac{k_2}{k_1}=2:
E_a = R \,\ln 2 \,\bigg/ \!\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Uma forma equivalente (mais prática quando \Delta T=T_2-T_1 é pequeno) é
E_a = R \ln 2 \,\frac{T_1 T_2}{T_2-T_1}.
Vou usar esta última expressão, porque T_2-T_1=10\\ \mathrm{K} fica simples.

Passo 5

Converter temperaturas para kelvin (muito importante — sempre usar K na fórmula de Arrhenius):
T_1 = 500^\circ \mathrm{C} = 500 + 273,15 = 773,15\\ \mathrm{K},
T_2 = 510^\circ \mathrm{C} = 510 + 273,15 = 783,15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular o produto T_1 T_2:
T_1 T_2 = 773,15 \times 783,15 = 605464,4225\\ \mathrm{K^2}.

Passo 7

Calcular R \ln 2. Usando \ln 2 = 0,693147 e R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
R \ln 2 = 8,314 \times 0,693147 = 5,762824\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 8

Substituir tudo na fórmula
E_a = R \ln 2 \,\frac{T_1 T_2}{T_2-T_1} = 5,762824 \times \frac{605464,4225}{10}.
Calculando:
E_a = 5,762824 \times 60546,44225 = 348902,4837\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando com notação prática:
E_a \approx 3,49\times 10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 349\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Resposta

E_a \approx 3,49\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 349\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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