Um ventilador em repouso é ligado e ajustado de forma que a velocidade angular de suas pás aumenta uniformemente até atingir 573 rpm (rotações por minuto) em 6 segundos. Considerando o momento que o ventilador atinge sua velocidade angular final, determine (e) Escreva a equação para a posição angular theta(t) nos primeiros 6 segundos para uma das pás do ventilador se inicialmente theta0=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ventilador parado que é ligado, e a velocidade angular das suas pás aumenta de forma uniforme até atingir 573 rotações por minuto (rpm) em 6 segundos. Queremos descobrir qual é a equação que descreve a posição angular de uma das pás nos primeiros 6 segundos, sabendo que inicialmente .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente o movimento angular com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade final de rpm para radianos por segundo (rad/s), porque essa é a unidade mais conveniente para usar nas fórmulas de movimento angular.
Sabemos que:
1 rpm = 2pi60 rad/s
Então, para 573 rpm:
omegaf = 573 times 2pi60 approx 60.1 rad/s

Passo 3

Como a aceleração é uniforme, temos uma aceleração angular constante omegaf = omega0 + alpha t . Podemos encontrar 60.1 = 0 + alpha times 6 usando a fórmula que relaciona a velocidade angular final alpha = 60.16 approx 10.02 rad/s^2 , a velocidade inicial (que é 0, já que o ventilador estava parado) e o tempo :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a aceleração angular, podemos encontrar a posição angular theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2 usando a fórmula do movimento angular com aceleração constante:
theta(t) = 12 alpha t^2
Sabendo que theta(t) = 12 times 10.02 times t^2 = 5.01 t^2 e :
Substituindo :

Resposta

A equação para a posição angular nos primeiros 6 segundos é:
theta(t) = 5.01, t^2 rad

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