Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
d) R^3=>=r(v1, v2, v3), em que v1=(-1,0,2), v2=(1,1,1) e v3=(-3,-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa: , onde , e . Basicamente, a pergunta quer saber se esses três vetores conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaços gerados e independente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor vai ser uma coluna da matriz:
A = -1 & 1 & -3 0 & 1 & -2 2 & 1 & 0

Passo 3

O próximo passo é verificar o posto dessa matriz, que nos diz quantas direções diferentes ela cobre. Se o posto for 3, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -1 cdot (1 cdot 0 - (-2) cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 0 - (-2) cdot 2) + (-3) cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, o posto é 3.
det(A) = -1 cdot (0 + 2) - 1 cdot (0 + 4) + (-3) cdot (0 - 2)
det(A) = -1 cdot 2 - 1 cdot 4 + (-3) cdot (-2)
det(A) = -2 - 4 + 6 = 0

Passo 5

Como o determinante deu zero, a matriz não tem posto 3. Isso significa que os vetores , e não são linearmente independentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores é combinação linear dos outros.

Passo 6

Mesmo que os vetores não sejam todos independentes, precisamos ver se eles ainda conseguem gerar todo o espaço . Porém, aqui como temos três vetores dependentes, eles não podem cobrir todas as direções possíveis no espaço tridimensional.

Resposta

Falso. Os vetores , e são linearmente dependentes e, portanto, não geram todo o espaço .

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