Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
d) , em que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa: , onde , e . Basicamente, a pergunta quer saber se esses três vetores conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaços gerados e independente linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor vai ser uma coluna da matriz:
Passo 3
O próximo passo é verificar o posto dessa matriz, que nos diz quantas direções diferentes ela cobre. Se o posto for 3, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -1 cdot (1 cdot 0 - (-2) cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 0 - (-2) cdot 2) + (-3) cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, o posto é 3.
Como o determinante deu zero, a matriz não tem posto 3. Isso significa que os vetores , e não são linearmente independentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores é combinação linear dos outros.
Passo 6
Mesmo que os vetores não sejam todos independentes, precisamos ver se eles ainda conseguem gerar todo o espaço . Porém, aqui como temos três vetores dependentes, eles não podem cobrir todas as direções possíveis no espaço tridimensional.
Resposta
Falso. Os vetores , e são linearmente dependentes e, portanto, não geram todo o espaço .