Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam 
  uma matriz 
  invertível e 
  um conjunto de vetores linearmente independente do 
  então 
  também é linearmente independente.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada 
  de ordem 
  que é invertível, ou seja, ela tem um inverso 
 . Também temos um conjunto de vetores 
  no espaço 
  que são linearmente independentes. A pergunta é: se aplicarmos a matriz 
  em cada um desses vetores, o novo conjunto 
  também será linearmente independente? Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se 
 , então 
 .
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto transformado 
 . Queremos verificar se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, assumimos que uma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero:
Passo 4
Podemos fatorar a matriz 
  fora da combinação linear:
Passo 5
Como 
  é invertível, o único vetor que satisfaz 
  é 
 . Portanto, temos:
Passo 6
Mas sabemos que 
  é um conjunto de vetores linearmente independente. Isso significa que a única solução para essa equação é 
 .
Passo 7
Como os coeficientes 
  são todos zero, concluímos que o conjunto 
  também é linearmente independente.
Resposta
Verdadeiro. Multiplicar um conjunto de vetores linearmente independentes por uma matriz invertível preserva a independência linear.