Verificar se as séries \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, com as a_{n} dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a_{2 n-1}=\frac{1}{2^{n-1}} e a_{2 n}=\frac{1}{3^{2 n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
onde
a_{2n-1}=\frac{1}{2^{\,n-1}} \quad\text{e}\quad a_{2n}=\frac{1}{3^{\,2n-1}}.
Precisamos verificar se ela é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Não dá para aplicar o critério da série alternada porque a sequência (a_n) não é monotônica.

Passo 2

Para ver se há convergência absoluta, calculamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}a_n\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\sum_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{2k}.
Agora cada parte é uma série geométrica:
\sum_{k=1}^{\infty}a_{2k-1} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,k-1}} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{2^{\,m}} =2,
\sum_{k=1}^{\infty}a_{2k} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^{\,2k-1}} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{3^{\,2m+1}} =\frac{1}{3}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{9^{\,m}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{9}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{8} =\frac{3}{8}.
Somando,
\sum_{n=1}^{\infty}a_n =2+\frac{3}{8} =\frac{19}{8}<\infty.

Passo 3

Como \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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