Verificar se as séries
, com as
dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
e
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
com
Queremos saber se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Não podemos usar diretamente o Critério da Série Alternada porque
não é monotônica. A sugestão é estudar a “sequência das reduzidas”, ou seja, agrupar em blocos de dois termos.
Passo 2
Definimos a soma parcial de ordem par por
Se mostrarmos que
é divergente, então
e a série original diverge.
Passo 3
Para cada
, o termo do bloco é
Como
cresce exponencialmente,
é negligenciável em comparação a
quando
. Formalmente, note que
Logo,
comporta-se como
para
grande.
Passo 4
Pela comparação ou pelo teste da equivalência, como
a série
é divergente (é múltiplo da harmônica). Portanto
quando
, e a série alternada original diverge.
Passo 5
Verificamos também que
é divergente porque
diverge. Logo não há convergência absoluta.
Resposta
A série diverge.