Verificar se as séries \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, com as a_{n} dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a_{2 n-1}=\frac{1}{2 n-1} e a_{2 n}=\frac{1}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
com
a_{2n-1}=\frac{1}{2n-1}, \quad a_{2n}=\frac{1}{3^n}.
Queremos saber se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Não podemos usar diretamente o Critério da Série Alternada porque (a_n) não é monotônica. A sugestão é estudar a “sequência das reduzidas”, ou seja, agrupar em blocos de dois termos.

Passo 2

Definimos a soma parcial de ordem par por
S_{2N} =\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n+1}a_n =\sum_{k=1}^{N}\bigl(a_{2k-1}-a_{2k}\bigr).
Se mostrarmos que
\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_{2k-1}-a_{2k}\bigr)
é divergente, então S_{2N}\to\infty e a série original diverge.

Passo 3

Para cada k, o termo do bloco é
b_k = a_{2k-1}-a_{2k} =\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{3^k}.
Como 3^k cresce exponencialmente, \frac1{3^k} é negligenciável em comparação a \frac1{2k-1} quando k\to\infty. Formalmente, note que
\lim_{k\to\infty}\frac{b_k}{\frac1{k}} =\lim_{k\to\infty} \frac{\frac1{2k-1}-\frac1{3^k}}{\frac1{k}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k}{2k-1} = \tfrac12\neq0.
Logo, b_k comporta-se como \tfrac1{2k} para k grande.

Passo 4

Pela comparação ou pelo teste da equivalência, como
b_k\sim\frac1{2k} \quad(k\to\infty),
a série
\sum_{k=1}^{\infty}b_k
é divergente (é múltiplo da harmônica). Portanto
\sum_{k=1}^{N}\bigl(a_{2k-1}-a_{2k}\bigr)\to\infty
quando N\to\infty, e a série alternada original diverge.

Passo 5

Verificamos também que
\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k}
é divergente porque \sum1/(2k-1) diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados