Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A é uma matriz quadrada simétrica e B é uma matriz ortogonal então a matriz A+B^{-1} nunca será simétrica.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para verificar a veracidade da afirmação:
  • Informação 1: A é uma matriz quadrada simétrica. Ou seja,
A^T = A.
  • Informação 2: B é uma matriz ortogonal. Ou seja,
B^T B = I \quad\text{e portanto}\quad B^{-1}=B^T.
O que o enunciado afirma: “A matriz A+B^{-1} nunca será simétrica.” A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, dar um contra-exemplo.

Passo 2

Vamos escrever a condição que garante que uma matriz seja simétrica. Uma matriz M é simétrica quando
M^T = M.
Aplicando isso à matriz em questão M = A+B^{-1}, calculamos o transposto usando a propriedade (X+Y)^T = X^T + Y^T:
(A+B^{-1})^T = A^T + (B^{-1})^T.
Como A é simétrica, A^T=A. Além disso, B é ortogonal, então B^{-1}=B^T. Assim
(B^{-1})^T = (B^T)^T = B.
Portanto
(A+B^{-1})^T = A + B.

Passo 3

Para que A+B^{-1} seja simétrica precisamos de
(A+B^{-1})^T = A+B^{-1}.
Usando o resultado do passo anterior isso equivale a
A + B = A + B^{-1}.
Subtraindo A dos dois lados obtemos a condição equivalente
B = B^{-1}.
Multiplicando ambos os lados por B (ou reescrevendo) isso dá
B^2 = I.
Então, para matrizes A simétrica e B ortogonal, a soma A+B^{-1} será simétrica se, e somente se, B=B^{-1} (ou seja, B^2=I). Em palavras: a afirmação “nunca será simétrica” só seria verdadeira se nenhuma matriz ortogonal satisfaça B=B^{-1}. Mas isso é falso — existem várias matrizes ortogonais que satisfazem B^2=I.

Passo 4

Construção de um contra-exemplo simples (o suficiente para mostrar que a afirmação é falsa).
Escolha B=I_n (a matriz identidade de ordem n). Então B é ortogonal e
B^{-1}=I_n.
Escolha qualquer matriz simétrica A; por exemplo, em ordem 2 tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt] 2 & 3\end{pmatrix},
que satisfaz A^T=A.
Agora calcule
A+B^{-1}=A+I_2=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt] 2 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Verifica-se imediatamente que \begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix} é simétrica. Portanto existe ao menos um caso em que A+B^{-1} é simétrica, logo a afirmação “nunca será simétrica” é falsa.]

Passo 5

Complemento didático (como perceber isso rápido numa prova):
  • Lembre-se das propriedades básicas: (X+Y)^T=X^T+Y^T e, se B é ortogonal, B^{-1}=B^T.
  • Para testar simetria de A+B^{-1} calcule o transposto e compare com a matriz original; no caso em pauta isso leva direto à condição B=B^{-1} (ou B^2=I).
  • Exemplos de matrizes ortogonais com B^2=I: I_n, -I_n, reflexões (matrizes do tipo \operatorname{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1) nas bases adequadas). Para qualquer uma dessas, se A for simétrica, A+B^{-1} será simétrica.
  • Conclusão prática: a propriedade não é “nunca”, é: em geral não é simétrica, salvo quando B é sua própria inversa.

Resposta

FALSA