Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se
é uma matriz quadrada simétrica e
é uma matriz ortogonal então a matriz
nunca será simétrica.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para verificar a veracidade da afirmação:
- Informação 1:
é uma matriz quadrada simétrica. Ou seja,
- Informação 2:
é uma matriz ortogonal. Ou seja,
O que o enunciado afirma: “A matriz
nunca será simétrica.” A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, dar um contra-exemplo.
Passo 2
Vamos escrever a condição que garante que uma matriz seja simétrica. Uma matriz
é simétrica quando
Aplicando isso à matriz em questão
, calculamos o transposto usando a propriedade
:
Como
é simétrica,
. Além disso,
é ortogonal, então
. Assim
Portanto
Passo 3
Para que
seja simétrica precisamos de
Usando o resultado do passo anterior isso equivale a
Subtraindo
dos dois lados obtemos a condição equivalente
Multiplicando ambos os lados por
(ou reescrevendo) isso dá
Então, para matrizes
simétrica e
ortogonal, a soma
será simétrica se, e somente se,
(ou seja,
). Em palavras: a afirmação “nunca será simétrica” só seria verdadeira se nenhuma matriz ortogonal satisfaça
. Mas isso é falso — existem várias matrizes ortogonais que satisfazem
.
Passo 4
Construção de um contra-exemplo simples (o suficiente para mostrar que a afirmação é falsa).
Escolha
(a matriz identidade de ordem
). Então
é ortogonal e
Escolha qualquer matriz simétrica
; por exemplo, em ordem
tome
que satisfaz
.
Agora calcule
Verifica-se imediatamente que
é simétrica. Portanto existe ao menos um caso em que
é simétrica, logo a afirmação “nunca será simétrica” é falsa.]
Passo 5
Complemento didático (como perceber isso rápido numa prova):
- Lembre-se das propriedades básicas:
e, se é ortogonal, . - Para testar simetria de
calcule o transposto e compare com a matriz original; no caso em pauta isso leva direto à condição (ou ). - Exemplos de matrizes ortogonais com
: , , reflexões (matrizes do tipo nas bases adequadas). Para qualquer uma dessas, se for simétrica, será simétrica. - Conclusão prática: a propriedade não é “nunca”, é: em geral não é simétrica, salvo quando
é sua própria inversa.
Resposta
FALSA