Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x y=0\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = \mathbb{R}^{3}
e o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x\,y = 0\}.
Para que W seja subespaço vetorial de V, devemos verificar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. Temos (0,0,0) e
0\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Testamos fechamento sob soma. Considere
u = (1,0,0),\quad v = (0,1,0).
Em cada um vale x\,y=0, então u\in W e v\in W. Porém
u+v = (1,1,0)
satisfaz
1\cdot 1 = 1 \neq 0,
logo u+v\notin W. Portanto W não é fechado sob adição.

Passo 4

Para completar, embora não seja necessário (já basta a falha no passo anterior), note que para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in W temos
(\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2\,(x\,y) = \lambda^2\cdot 0 = 0,
logo \lambda(x,y,z)\in W. Portanto W é fechado sob produto escalar, mas isso não compensa a falta de fechamento sob soma.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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