Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Para que
seja subespaço vetorial de
, devemos verificar três propriedades:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
. Temos
e
logo
.
Passo 3
Testamos fechamento sob soma. Considere
Em cada um vale
, então
e
. Porém
satisfaz
logo
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 4
Para completar, embora não seja necessário (já basta a falha no passo anterior), note que para qualquer
e
temos
logo
. Portanto
é fechado sob produto escalar, mas isso não compensa a falta de fechamento sob soma.