Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=M(n \times n), W=\{B \in M(n \times n) ; B é simétrica }).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M(n \times n)
de todas as matrizes n\times n sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R}), e o subconjunto
W = \{\,B \in M(n \times n)\mid B \text{ é simétrica}\}.éé
Para mostrar que W é subespaço vetorial de V, precisamos verificar:
  1. 0_{n\times n}\in W.
  2. Se A,B\in W, então A+B\in W.
  3. Se \alpha é escalar e A\in W, então \alpha A\in W.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
0_{n\times n}
é simétrica, pois
(0_{n\times n})^T = 0_{n\times n}.
Logo, 0_{n\times n}\in W.

Passo 3

Sejam A e B duas matrizes simétricas; isto é,
A^T = A \quad\text{e}\quad B^T = B.
Então
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
o que mostra que A+B também é simétrica. Logo, A,B\in W\implies A+B\in W.

Passo 4

Seja \alpha um escalar e A\in W com A^T = A. Então
(\alpha A)^T = \alpha\,A^T = \alpha A,
logo \alpha A é simétrica e \alpha A\in W.

Resposta

O conjunto W é um subespaço vetorial de V.

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