Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial de
.
é simétrica }).
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as matrizes
sobre um corpo (por exemplo
), e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar:
-
. - Se
, então . - Se
é escalar e , então .
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
é simétrica, pois
Logo,
.
Passo 3
Sejam
e
duas matrizes simétricas; isto é,
Então
o que mostra que
também é simétrica. Logo,
.
Passo 4
Seja
um escalar e
com
. Então
logo
é simétrica e
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.