Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / z=x+y\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = x + y\}
é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.
Para isso usamos o teste de subespaço, que exige três propriedades:
  1. O vetor nulo pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) está em W. Como para (0,0,0) vale
z = 0 = 0 + 0 \,,
temos (0,0,0)\in W.

Passo 3

Mostramos a clausura de W sob adição. Seja (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em W. Então
z_1 = x_1 + y_1 \quad\text{e}\quad z_2 = x_2 + y_2.
A soma é
(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Como
z_1+z_2 = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = (x_1+x_2)+(y_1+y_2),
segue que o vetor soma também satisfaz a equação z = x + y, ou seja, pertence a W.

Passo 4

Verificamos a clausura de W sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in W, com z = x + y. Então
\lambda\,(x,y,z) = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z)
e
\lambda z = \lambda\,(x+y) = (\lambda x)+(\lambda y),
logo (\lambda x,\lambda y,\lambda z) satisfaz \displaystyle z = x + y e pertence a W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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