Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / z^{2}=x^{2}+y^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z^2 = x^2 + y^2\}
é um subespaço vetorial de V = \mathbb{R}^3.
Vamos usar o teste de subespaço, que exige:
(i) o vetor zero em W,
(ii) fechamento sob adição,
(iii) fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero. Para (0,0,0) temos
0^2 = 0^2 + 0^2
logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Testamos o fechamento sob adição. Tome
v_1 = (1,0,1) \quad\text{e}\quad v_2 = (0,1,1).
Ambos satisfazem z^2 = x^2 + y^2 pois 1^2 = 1+0 e 1^2 = 0+1. Porém
v_1 + v_2 = (1,1,2)
e
2^2 = 4 \neq 1^2 + 1^2 = 2,
então v_1+v_2\notin W. Assim, não há fechamento sob adição.

Passo 4

Para fechar, observamos a multiplicação escalar. Se (x,y,z)\in W e c\in\mathbb{R} então
(cz)^2 = c^2 z^2 = c^2(x^2 + y^2) = (cx)^2 + (cy)^2,
logo c\,(x,y,z)\in W. Entretanto, como o fechamento sob adição falha, W não é subespaço.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de V.

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