Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
, formado por todas as matrizes quadradas
de ordem
com
, é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos lidando com subespaços vetoriais, que são conjuntos que seguem certas regras dentro de um espaço vetorial maior. Para verificar isso, precisamos checar três coisas:
- Contém o vetor zero: A matriz zero pertence a
? - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está? - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então está em ?
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
1. Contém o vetor zero
Primeiro, precisamos ver se a matriz zero pertence a
. A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero, ou seja,
.
Vamos verificar se
satisfaz
:
Como isso é verdade, a matriz zero está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
2. Fechado sob adição
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes
e
em
,
também estará em
?
Sabemos que:
Queremos verificar se
:
Para que
esteja em
, precisaríamos que:
Isso implica que:
Isso nem sempre é verdade para matrizes quaisquer. Portanto, a adição de duas matrizes em
nem sempre resulta em uma matriz também em
.
Passo 4
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por um escalar. Ou seja, se
está em
e
é um número real, então
está em
?
Sabemos que
. Queremos verificar se
:
Para que
esteja em
, precisaríamos que:
Isso implica que
, ou seja,
. Isso só é verdade para
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se mantém.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalares.