Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=A in Mn(R) mid A^2=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes quadradas de ordem com , é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos lidando com subespaços vetoriais, que são conjuntos que seguem certas regras dentro de um espaço vetorial maior. Para verificar isso, precisamos checar três coisas:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero pertence a ?
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então está em ?
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

1. Contém o vetor zero
Primeiro, precisamos ver se a matriz zero pertence a 0^2 = 0 times 0 = 0 . A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero, ou seja, .
Vamos verificar se satisfaz :
Como isso é verdade, a matriz zero está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

2. Fechado sob adição
Agora, vamos ver se A^2 = A e B^2 = B é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + AB + BA + B e A + AB + BA + B = A + B em AB + BA = 0 , também estará em ?
Sabemos que:
Queremos verificar se :
Para que esteja em , precisaríamos que:
Isso implica que:
Isso nem sempre é verdade para matrizes quaisquer. Portanto, a adição de duas matrizes em nem sempre resulta em uma matriz também em .

Passo 4

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Por último, vamos ver se (cA)^2 = cA times cA = c^2 A^2 = c^2 A é fechado sob multiplicação por um escalar. Ou seja, se c^2 A = cA está em e é um número real, então está em ?
Sabemos que . Queremos verificar se :
Para que esteja em , precisaríamos que:
Isso implica que , ou seja, . Isso só é verdade para ou . Para outros valores de , a igualdade não se mantém.

Resposta

Portanto, o conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalares.

Exercícios relacionados