Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=(x, y, z) in R^3 mid x cdot y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se cumpre esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor .
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em x cdot y = 0 cdot 0 = 0 :
O vetor zero em é . Vamos substituir na condição de :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x1 cdot y1 = 0 e x2 cdot y2 = 0 :
(x1 + x2) cdot (y1 + y2) = 0
Sabemos que:
(x1 + x2)(y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2
Agora, somando , precisamos verificar se:
Explicando a teoria: Para que a soma esteja em , o produto das componentes x e y do vetor resultante deve ser zero. Vamos calcular:
Sabemos que e (porque e estão em ), mas os termos e não necessariamente são zero. Portanto, o produto pode não ser zero.

Passo 5

3. Conclusão sobre a adição:
Como o produto pode não ser zero, isso significa que a soma de dois vetores em nem sempre estará em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 6

4. Verificando se cu = (c x, c y, c z) é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos uma condição que falha, vamos dar uma olhada rápida. Se multiplicarmos um vetor (c x) cdot (c y) = c^2 x y em por um escalar , temos:
E verificamos:
Se , então . Então, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não é fechado sob adição, isso significa que não é um subespaço vetorial de .

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