Verifique, em cada caso, se A, B, C e D são coplanares:
A=(1,1,1), B=(1,2,1), C=(3,0,1) e D=(5,7,10).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se os pontos e estão todos no mesmo plano, ou seja, se eles são coplanares. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente determinantes e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas de cada ponto:

Passo 3

Agora, vamos formar três vetores a partir do ponto :
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 4

Para verificar se esses vetores são coplanares, podemos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. A matriz fica assim:
0 & 1 & 0 2 & -1 & 0 4 & 6 & 9

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
0 times (-1 times 9 - 0 times 6) - 1 times (2 times 9 - 0 times 4) + 0 times (2 times 6 - (-1) times 4)
Simplificando:
0 times (-9) - 1 times (18) + 0 times (12 + 4) = 0 - 18 + 0 = -18

Resposta

Como o determinante é (diferente de zero), os pontos e não são coplanares.

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