- Verifique em cada um dos casos se
é um subespaço de
espaço vetorial sobre
, com
é uma função contínua
.
(a)
é crescente
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada conjunto
é subespaço vetorial sobre
. Lembrando o critério de subespaço, devemos checar:
-
(isto é, a função zero está em ); - para quaisquer
vale ; - para qualquer
e qualquer vale .
Passo 2
Analisando (a):
- A função zero
é constante e, portanto, crescente. Logo, . - Se
e são crescentes, então para temos e , de onde
logo
também é crescente.
3. Porém, se tomarmos e
crescente, então para
3. Porém, se tomarmos
ou seja,
é decrescente, não pertencendo a
.
Portanto, falha na clausura sob multiplicação por escalares e não é subespaço.
Portanto,
Passo 3
Analisando (b):
Aqui assumimos que todo
é pelo menos diferenciável em
e em
.
- A função zero satisfaz
e , então . - Se
então
logo
.
3. Para qualquer e
,
3. Para qualquer
então
.
Assim, satisfaz todos os requisitos de subespaço.
Assim,
Resposta
(a)
não é subespaço.
(b) é subespaço.
(b)