1. Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \mathscr{C}([0,1]) espaço vetorial sobre \mathbb{R}, com \mathscr{C}([0,1])=\{f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R} ; f é uma função contínua \}.
    (a) W=\{f \in \mathscr{C}([0,1]) ; f é crescente \};
    (b) W=\left\{f \in \mathscr{C}([0,1]) ; f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada conjunto
W\subset \mathscr{C}([0,1])
é subespaço vetorial sobre \mathbb{R}. Lembrando o critério de subespaço, devemos checar:
  1. W\neq\emptyset (isto é, a função zero está em W);
  2. para quaisquer f,g\in W vale f+g\in W;
  3. para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e qualquer f\in W vale \alpha f\in W.

Passo 2

Analisando (a):
W=\{f\in\mathscr{C}([0,1])\mid f\text{ é crescente}\}.é
  1. A função zero f(x)=0 é constante e, portanto, crescente. Logo, 0\in W.
  2. Se f e g são crescentes, então para x<y temos f(x)\le f(y) e g(x)\le g(y), de onde
(f+g)(x)=f(x)+g(x)\le f(y)+g(y)=(f+g)(y),
logo f+g também é crescente.
3. Porém, se tomarmos \alpha<0 e f crescente, então para x<y
(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\ge \alpha f(y)=(\alpha f)(y),
ou seja, \alpha f é decrescente, não pertencendo a W.
Portanto, W falha na clausura sob multiplicação por escalares e não é subespaço.

Passo 3

Analisando (b):
W=\{\,f\in\mathscr{C}([0,1])\mid f'(0)=f'(1)=0\}.
Aqui assumimos que todo f\in W é pelo menos diferenciável em 0 e em 1.
  1. A função zero satisfaz f'(0)=0 e f'(1)=0, então 0\in W.
  2. Se f,g\in W então
(f+g)'(0)=f'(0)+g'(0)=0+0=0, \quad (f+g)'(1)=f'(1)+g'(1)=0+0=0,
logo f+g\in W.
3. Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e f\in W,
(\alpha f)'(0)=\alpha\,f'(0)=\alpha\cdot 0=0, \quad (\alpha f)'(1)=\alpha\,f'(1)=0,
então \alpha f\in W.
Assim, W satisfaz todos os requisitos de subespaço.

Resposta

(a) W não é subespaço.
(b) W é subespaço.

Exercícios relacionados