Verifique se cada uma das seguintes relações são relações de equivalência.
Seja n \in \mathbb{Z}_{+} \mathrm{e} \sim a relação em \mathbb{Z} definida por: x \sim y \Leftrightarrow n \mid(x-y).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{Z} a relação \sim por
x \sim y \iff n \mid (x - y),
com n\in\mathbb{Z}_{+}. Para que \sim seja uma relação de equivalência, precisamos verificar que ela é
  1. reflexiva,
  2. simétrica,
  3. transitiva.

Passo 2

Verificação da reflexividade: para todo x\in\mathbb{Z} temos
x - x = 0
e todo inteiro positivo n divide 0. Logo
\forall x\in\mathbb{Z},\;n\mid(x - x)\quad\Longrightarrow\quad x\sim x,
ou seja, \sim é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria: suponha x\sim y. Então
n\mid(x - y)\implies x - y = nk\text{ para algum }k\in\mathbb{Z}.
Mas daí
y - x = -\bigl(x - y\bigr) = n(-k),
logo n\mid(y - x) e y\sim x. Assim, \sim é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade: suponha x\sim y e y\sim z. Então existem k,m\in\mathbb{Z} tais que
x - y = nk \quad\text{e}\quad y - z = nm.
Somando essas igualdades vem
x - z = (x - y) + (y - z) = n(k + m),
logo n\mid(x - z) e x\sim z. Portanto, \sim é transitiva.

Resposta

A relação \sim em \mathbb{Z} definida por x\sim y\iff n\mid(x-y) é de equivalência.

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