Verifique se cada uma das seguintes relações são relações de equivalência.
Seja
a relação em
definida por:
.
Seja
Passo 1
O enunciado define em
a relação
por
com
. Para que
seja uma relação de equivalência, precisamos verificar que ela é
- reflexiva,
- simétrica,
- transitiva.
Passo 2
Verificação da reflexividade: para todo
temos
e todo inteiro positivo
divide
. Logo
ou seja,
é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria: suponha
. Então
Mas daí
logo
e
. Assim,
é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade: suponha
e
. Então existem
tais que
Somando essas igualdades vem
logo
e
. Portanto,
é transitiva.
Resposta
A relação
em
definida por
é de equivalência.