Verifique as condições de Cauchy-Riemann para das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: verificar as condições de Cauchy–Riemann para
.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- A função complexa é
definida por . - Para verificar as condições de Cauchy–Riemann é preciso escrever
como , separar em parte real e parte imaginária , calcular as derivadas parciais , , , e checar se
além de verificar a continuidade dessas derivadas parciais na região considerada.
Passo 2
Passo pedagógico: escrever
em termos de
e
. Use a fórmula exponencial
Com
temos
e
. Então
Somando e dividindo por
resulta
Portanto as partes real e imaginária são
Passo 3
Relembrando o que significam as derivadas parciais que vamos calcular:
-
é a derivada de em relação a tratando como constante. -
é a derivada de em relação a tratando como constante.
O mesmo vale para. Vamos calcular cada uma passo a passo, lembrando das derivadas elementares: , , , .
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 6
Verificação direta das condições de Cauchy–Riemann:
- Comparando
com :
logo
.
- Comparando
com :
logo
.
Passo 7
Verificação da hipótese de regularidade: as derivadas parciais encontradas são combinações de
,
,
,
, que são funções infinitamente diferenciáveis e, em particular, contínuas em todo
. Portanto as derivadas parciais são contínuas em todo o plano.
Conclusão: as condições de Cauchy–Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas para todo
, isto é, para todo
. Assim
é holomorfa em todo
. (Observação curta: isso também se vê porque
tem série de Taylor inteira e derivada
.)
Resposta
As condições de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo
; portanto
é holomorfa em
.