Verifique as condições de Cauchy-Riemann para das funções:
f(z)=\cos z

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: verificar as condições de Cauchy–Riemann para f(z)=\cos z.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • A função complexa é f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por f(z)=\cos z.
  • Para verificar as condições de Cauchy–Riemann é preciso escrever z como z=x+iy, separar f em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y), calcular as derivadas parciais \partial u/\partial x, \partial u/\partial y, \partial v/\partial x, \partial v/\partial y e checar se
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},
além de verificar a continuidade dessas derivadas parciais na região considerada.

Passo 2

Passo pedagógico: escrever \cos z em termos de x e y. Use a fórmula exponencial
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Com z=x+iy temos iz=i x - y e -iz=-i x + y. Então
e^{iz}=e^{-y}(\cos x + i\sin x), \qquad e^{-iz}=e^{y}(\cos x - i\sin x).
Somando e dividindo por 2 resulta
\cos z=\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y.
Portanto as partes real e imaginária são
u(x,y)=\cos x\operatorname{cosh} y, \qquad v(x,y)=-\sin x\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Relembrando o que significam as derivadas parciais que vamos calcular:
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada de u em relação a x tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada de u em relação a y tratando x como constante.
    O mesmo vale para v. Vamos calcular cada uma passo a passo, lembrando das derivadas elementares: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y, \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\operatorname{cosh} y\big) =\big(\frac{d}{dx}\cos x\big)\operatorname{cosh} y =-\sin x\operatorname{cosh} y.
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\operatorname{cosh} y\big) =\cos x\big(\frac{d}{dy}\operatorname{cosh} y\big) =\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de v:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-\sin x\operatorname{sinh} y\big) =-\big(\frac{d}{dx}\sin x\big)\operatorname{sinh} y =-\cos x\operatorname{sinh} y.
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-\sin x\operatorname{sinh} y\big) =-\sin x\big(\frac{d}{dy}\operatorname{sinh} y\big) =-\sin x\operatorname{cosh} y.

Passo 6

Verificação direta das condições de Cauchy–Riemann:
  • Comparando \dfrac{\partial u}{\partial x} com \dfrac{\partial v}{\partial y}:
\frac{\partial u}{\partial x}=-\sin x\operatorname{cosh} y, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-\sin x\operatorname{cosh} y,
logo \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}.
  • Comparando \dfrac{\partial u}{\partial y} com -\dfrac{\partial v}{\partial x}:
\frac{\partial u}{\partial y}=\cos x\operatorname{sinh} y, \qquad -\frac{\partial v}{\partial x}=-(-\cos x\operatorname{sinh} y)=\cos x\operatorname{sinh} y,
logo \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}.

Passo 7

Verificação da hipótese de regularidade: as derivadas parciais encontradas são combinações de \sin x, \cos x, \operatorname{sinh} y, \operatorname{cosh} y, que são funções infinitamente diferenciáveis e, em particular, contínuas em todo \mathbb{R}^2. Portanto as derivadas parciais são contínuas em todo o plano.
Conclusão: as condições de Cauchy–Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, isto é, para todo z\in\mathbb{C}. Assim f(z)=\cos z é holomorfa em todo \mathbb{C}. (Observação curta: isso também se vê porque \cos z tem série de Taylor inteira e derivada \frac{d}{dz}\cos z=-\sin z.)

Resposta

As condições de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo z\in\mathbb{C}; portanto f(z)=\cos z é holomorfa em \mathbb{C}.