Verifique se o conjunto dado é base do espaço vetorial V .
A=\left\{\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\\\ 0 & -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-3 & -2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}3 & -7 \\\\ -2 & 5\end{array}\right]\right\}, V=M(2,2)

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M(2,2) (matrizes 2\times2) e o conjunto
A=\left\{\,M_1=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\; M_2=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix},\; M_3=\begin{pmatrix}-3 & -2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\; M_4=\begin{pmatrix}3 & -7\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}\right\}.
A pergunta é: verificar se A é uma base de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os quatro elementos explícitos são matrizes 2\times2 (listei-as acima).
  • O espaço V=M(2,2) tem dimensão 4 (cada matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes).]

Passo 2

O que significa ser base de V? Uma coleção de vetores é base se e somente se:
\text{(i) são linearmente independentes,\quad e\quad (ii) geram } V.ã
Como \dim V=4, qualquer conjunto de 4 vetores de V é base exatamente quando for linearmente independente (porque então gerará todo V). Portanto basta testar independência linear dos quatro elementos de A.
Uma maneira prática: representar cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem de entradas (por exemplo ordem linha por linha). Defino a identificação
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\longleftrightarrow (a,b,c,d).
Aplicando isso aos M_i temos as colunas (peguei os números das matrizes do enunciado):
v_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-2\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-7\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Agora monto a matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores:
A_{\text{col}}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3\\[4pt] 3 & -1 & -2 & -7\\[4pt] -1 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Se \det(A_{\text{col}})\neq 0 então as colunas são linearmente independentes e, como há quatro colunas em espaço de dimensão 4, formam uma base.]

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A_{\text{col}} por eliminação (mostrando passo a passo as operações elementares que preservam o determinante).
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3\\[4pt] 3 & -1 & -2 & -7\\[4pt] -1 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Usamos como pivô o elemento 2 em posição (1,1). Eliminamos abaixo:
R_2\leftarrow R_2-\dfrac{3}{2}R_1, R_3\leftarrow R_3+\dfrac{1}{2}R_1 (essas operações não alteram o determinante). Após isso a matriz fica
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & -\dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{23}{2}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Agora usamos o pivô -\dfrac{5}{2} em posição (2,2). Eliminamos as entradas abaixo na coluna 2:
O fator para R_3 é \dfrac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{5}{2}}=-\dfrac{1}{5}. Aplicando R_3\leftarrow R_3 -\big(\tfrac{1}{2}/(-\tfrac{5}{2})\big)R_2 = R_3 +\tfrac{1}{5}R_2 obtemos
R_3=\begin{pmatrix}0&0&0&-\dfrac{14}{5}\end{pmatrix}.
O fator para R_4 é \dfrac{-2}{-\tfrac{5}{2}}=\dfrac{4}{5}. Aplicando R_4\leftarrow R_4-\dfrac{4}{5}R_2 obtemos
R_4=\begin{pmatrix}0&0&-3&\dfrac{71}{5}\end{pmatrix}.
Assim a matriz após estas eliminações é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & -\dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{23}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5}\\[6pt] 0 & 0 & -3 & \dfrac{71}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora há um zero na posição (3,3) mas um não zero em (4,3). Para progredir, troco R_3 com R_4. Essa troca muda o sinal do determinante (um swap => multiplicar por -1). Após a troca a matriz fica triangular superior:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & -\dfrac{5}{2} & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{23}{2}\\[6pt] 0 & 0 & -3 & \dfrac{71}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5} \end{pmatrix}.
Como a matriz está triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal multiplicado pelo -1 devido à troca realizada:
\det(A_{\text{col}}) = -\left(2\right)\left(-\dfrac{5}{2}\right)\left(-3\right)\left(-\dfrac{14}{5}\right).]

Passo 5

Calculo explícito do produto:
2\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-5, \qquad -5\cdot(-3)=15, \qquad 15\cdot\left(-\dfrac{14}{5}\right)=-42.
Incluir o sinal da troca (multiplicar por -1) dá
\det(A_{\text{col}}) = -(-42)=42.
Como \det(A_{\text{col}})=42\neq 0, concluímos que as colunas são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão final lógica: temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4 e eles são linearmente independentes. Logo geram V e, portanto, formam uma base de V. Bom trabalho — mesmo que a conta pareça longa, a ideia central é mapear para \mathbb{R}^4 e checar independência (determinante não nulo).

Resposta

Sim. A é uma base de V.