Os quatro elementos explícitos são matrizes 2\times2 (listei-as acima).
O espaço V=M(2,2) tem dimensão 4 (cada matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes).]
Passo 2
O que significa ser base de V? Uma coleção de vetores é base se e somente se:
\text{(i) são linearmente independentes,\quad e\quad (ii) geram } V.ã
Como \dim V=4, qualquer conjunto de 4 vetores de V é base exatamente quando for linearmente independente (porque então gerará todo V). Portanto basta testar independência linear dos quatro elementos de A.
Uma maneira prática: representar cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem de entradas (por exemplo ordem linha por linha). Defino a identificação
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\longleftrightarrow (a,b,c,d).
Aplicando isso aos M_i temos as colunas (peguei os números das matrizes do enunciado):
Agora usamos o pivô -\dfrac{5}{2} em posição (2,2). Eliminamos as entradas abaixo na coluna 2:
O fator para R_3 é \dfrac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{5}{2}}=-\dfrac{1}{5}. Aplicando R_3\leftarrow R_3 -\big(\tfrac{1}{2}/(-\tfrac{5}{2})\big)R_2 = R_3 +\tfrac{1}{5}R_2 obtemos
Agora há um zero na posição (3,3) mas um não zero em (4,3). Para progredir, troco R_3 com R_4. Essa troca muda o sinal do determinante (um swap => multiplicar por -1). Após a troca a matriz fica triangular superior:
Como \det(A_{\text{col}})=42\neq 0, concluímos que as colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Conclusão final lógica: temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4 e eles são linearmente independentes. Logo geram V e, portanto, formam uma base de V. Bom trabalho — mesmo que a conta pareça longa, a ideia central é mapear para \mathbb{R}^4 e checar independência (determinante não nulo).