Verifique se o conjunto 
  com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre 
 .
 , operações usuais em 
 . Isto é,
 
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto 
  que consiste em matrizes 
  da forma:
Queremos verificar se esse conjunto 
 , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas de maneira usual em 
 , é um espaço vetorial sobre os números reais 
 . Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todos eles são satisfeitos por 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial sobre 
 . Existem oito axiomas principais, divididos em duas categorias: os relacionados à adição de vetores e os relacionados à multiplicação por escalar. Vou listar os principais aqui:
- Fechamento sob adição: Se 
e estão em , então também está em .  - Comutatividade da adição: 
.  - Associatividade da adição: 
.  - Existência do elemento zero: Existe um vetor zero em 
tal que para todo .  - Existência do inverso aditivo: Para cada 
, existe um vetor tal que .  - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se 
é um escalar em e , então também está em .  - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: 
.  - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: 
.  - Associatividade da multiplicação por escalar: 
.  - Elemento neutro da multiplicação por escalar: 
.  
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto 
 .
Passo 3
1. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de 
 :
A soma 
  é:
Observamos que 
  ainda tem a forma 
 , onde 
  e 
 . Como 
  e 
  são reais, 
  está em 
 . Portanto, 
  é fechado sob adição.
2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se 
 :
Como a adição dos reais é comutativa, 
 . Portanto, a adição é comutativa em 
 .
3. Associatividade da adição:
Para três elementos 
 , 
  e 
  em 
 :
Como a adição de matrizes é associativa, esse axioma é satisfeito em 
 .
4. Existência do elemento zero:
O elemento zero em 
  seria a matriz onde 
  e 
 :
Claramente, 
  está em 
  e 
  para qualquer 
 .
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada 
 , o inverso aditivo é:
Assim, 
 , e 
  também está em 
 .
6. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Para um escalar 
  e 
 :
Como 
  e 
  são reais, 
  está em 
 . Portanto, 
  é fechado sob multiplicação por escalar.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para 
  e 
 :
Por outro lado:
Portanto, 
 .
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para 
  e 
 :
E:
Logo, 
 .
9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Para 
  e 
 :
E:
Portanto, 
 .
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Para 
 :
Isso mostra que 
 .
Passo 4
Depois de verificar todos os axiomas, podemos concluir que o conjunto 
  satisfaz todas as condições necessárias para ser um espaço vetorial sobre 
  com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.
Resposta
Sim, o conjunto 
  com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre 
 .