Verifique se o conjunto de vetores
, é uma base ortonormal. Sendo
,
e
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é um conjunto de três vetores:
,
e
. A pergunta é: esse conjunto forma uma base ortonormal? Para responder isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da álgebra linear: base e ortonormalidade. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos de comprimento 1 (normalizados) e mutuamente perpendiculares (ortogonais entre si). Vamos verificar passo a passo se isso é verdade para esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento (ou norma) de um vetor
é dado por:
Vamos calcular a norma de cada vetor.
Passo 3
Calculando a norma de
:
Então,
tem comprimento 1.
Passo 4
Agora, a norma de
:
Então,
também tem comprimento 1.
Passo 5
Por fim, calculamos a norma de
:
Então,
também tem comprimento 1.
Passo 6
Agora que sabemos que todos os vetores têm norma igual a 1, vamos verificar se eles são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. O produto escalar de
e
é dado por:
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar de
e
:
Simplificando:
Então,
e
são ortogonais.
Passo 8
Agora, o produto escalar de
e
:
Simplificando:
Então,
e
são ortogonais.
Passo 9
Por fim, o produto escalar de
e
:
Simplificando:
Então,
e
também são ortogonais.
Resposta
Como todos os vetores têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais, o conjunto
é uma base ortonormal.