Verifique a controlabilidade e a observabilidade dos seguintes sistemas representados em espaço de estados:
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -0,4 & -1,3\end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll}0,8 & 1\end{array}\right] \mathbf{x}(t)

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear em espaço de estados
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\,\mathbf{x}(t)+B\,u(t), \quad y(t)=C\,\mathbf{x}(t),
com
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -0,4 & -1,3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0,8 & 1\end{pmatrix}.
Precisamos usar os critérios de Kalman: o sistema é controlável se
\rank\bigl[\mathcal{C}\bigr]=2, onde \mathcal{C}=[B\;\;AB],
e é observável se
\rank\bigl[\mathcal{O}\bigr]=2, onde
\mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\CA\end{pmatrix}.

Passo 2

Calcular a matriz de controlabilidade e seu posto:
AB =\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -0,4 & -1,3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1,3\end{pmatrix},
\mathcal{C} =\bigl[B\;\;AB\bigr] =\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & -1,3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(\mathcal{C})=0\cdot(-1,3)-1\cdot1=-1\neq0,
logo \rank(\mathcal{C})=2 e o sistema é totalmente controlável.

Passo 3

Calcular a matriz de observabilidade e seu posto:
CA =\begin{pmatrix}0,8 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -0,4 & -1,3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,4 & -0,5\end{pmatrix},
\mathcal{O} =\begin{pmatrix}C\CA\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,8 & 1\\\ -0,4 & -0,5\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(\mathcal{O})=0,8\cdot(-0,5)-1\cdot(-0,4)=-0,4+0,4=0,
logo \rank(\mathcal{O})=1<2 e o sistema não é observável.

Resposta

O sistema é controlável e não observável.

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