Queremos verificar a controlabilidade (usando a matriz \mathcal{C}=[B\;A B\;A^2B]) e a observabilidade (usando \mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\C A\C A^2\end{pmatrix}) pelo posto dessas matrizes.
Passo 2
Calculemos primeiro
A B=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\\\ 3&1\end{pmatrix},
Para ver que \mathcal{C} tem posto 3, basta extrair as três primeiras colunas correspondentes a \mathbf b_1=(0,1,0)^T, \mathbf b_2=(1,0,1)^T e A\mathbf b_1=(0,2,3)^T.
A submatriz
Note que a terceira coluna de \mathcal{O} é toda zero, logo \operatorname{rank}(\mathcal{O})=2<3.
Isso significa que nem todos os estados podem ser reconstruídos a partir da saída, logo o sistema não é observável.
Resposta
O sistema é controlável (posto de \mathcal{C} igual a 3) e não é observável (posto de \mathcal{O} igual a 2).