Verifique a controlabilidade e a observabilidade dos seguintes sistemas representados em espaço de estados:
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 1\end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] \mathbf{u}(t) ; \quad \mathbf{y}(t)=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \mathbf{x}(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\,\mathbf{x}(t)+B\,\mathbf{u}(t), \quad \mathbf{y}(t)=C\,\mathbf{x}(t),
onde
A=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix}.
Queremos verificar a controlabilidade (usando a matriz \mathcal{C}=[B\;A B\;A^2B]) e a observabilidade (usando \mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\C A\C A^2\end{pmatrix}) pelo posto dessas matrizes.

Passo 2

Calculemos primeiro
A B=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\\\ 3&1\end{pmatrix},
A^2 B =A\bigl(A B\bigr) =\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\\\ 3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&4\\\ 4&0\\\ 9&1\end{pmatrix}.
Logo
\mathcal{C}=\bigl[B\;\;A B\;\;A^2 B\bigr] =\begin{pmatrix} 0&1&0&2&0&4\\\\ 1&0&2&0&4&0\\\\ 0&1&3&1&9&1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para ver que \mathcal{C} tem posto 3, basta extrair as três primeiras colunas correspondentes a
\mathbf b_1=(0,1,0)^T, \mathbf b_2=(1,0,1)^T e A\mathbf b_1=(0,2,3)^T.
A submatriz
N=\begin{pmatrix} 0&1&0\\\\ 1&0&2\\\\ 0&1&3 \end{pmatrix}
tem determinante
\det(N)=-3\neq0.
Portanto \operatorname{rank}(\mathcal{C})=3 e o sistema é completamente controlável.

Passo 4

Agora calculemos
C A=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\end{pmatrix},
C A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&0&0\\\ 0&4&0\\\ 0&9&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&0&0\\\ 0&4&0\end{pmatrix}.
Assim a matriz de observabilidade é
\mathcal{O}= \begin{pmatrix} C\CA\CA^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 2&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 4&0&0\\\\ 0&4&0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Note que a terceira coluna de \mathcal{O} é toda zero, logo
\operatorname{rank}(\mathcal{O})=2<3.
Isso significa que nem todos os estados podem ser reconstruídos a partir da saída, logo o sistema não é observável.

Resposta

O sistema é controlável (posto de \mathcal{C} igual a 3) e não é observável (posto de \mathcal{O} igual a 2).

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