Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} k}{(3 k+2)^{k}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência (ou divergência) da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} k}{(3 k+2)^{k}+1}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_k=\dfrac{2^{k} k}{(3 k+2)^{k}+1}.
  • A soma vai de k=1 a +\infty.
    A pergunta é: essa série converge ou diverge? (Se possível, identificar se converge absolutamente.)

Passo 2

Escolha do método: como o termo geral envolve uma expressão elevada a k tanto no numerador como no denominador, o teste da raiz (root test) é uma escolha natural e eficiente. Vou usar esse teste porque ele lida diretamente com potências de ordem k e tende a simplificar expressões do tipo (\cdot)^{k}.

Passo 3

Enunciado do teste da raiz (explicado de forma simples):
  • Seja (a_k) uma sequência de números reais. Defina
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}.
  • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui eu vou calcular L para a_k=\dfrac{2^{k} k}{(3 k+2)^{k}+1}.

Passo 4

Calcular a k-ésima raiz do termo geral. Começo escrevendo a raiz k-ésima de |a_k|:
\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt[k]{\frac{2^{k} k}{(3 k+2)^{k}+1}}.
Como tudo é positivo, posso retirar potências k separadamente:
\sqrt[k]{|a_k|} = \frac{2\cdot k^{1/k}}{\big((3k+2)^{k}+1\big)^{1/k}}.

Passo 5

Simplificar o denominador da raiz k-ésima. Note que
\big((3k+2)^{k}+1\big)^{1/k}=(3k+2)\left(1+\frac{1}{(3k+2)^{k}}\right)^{1/k}.
Portanto
\sqrt[k]{|a_k|}=\frac{2\cdot k^{1/k}}{(3k+2)\left(1+\dfrac{1}{(3k+2)^{k}}\right)^{1/k}}.

Passo 6

Calcular limites auxiliares que surgem:
  1. Mostrar que \displaystyle \lim_{k\to\infty} k^{1/k}=1.
    • Tomemos logaritmo: \ln(k^{1/k})=\dfrac{\ln k}{k}. Como \ln k cresce mais devagar que k, temos \dfrac{\ln k}{k}\to 0. Então \ln(k^{1/k})\to 0, logo k^{1/k}\to e^{0}=1.
  2. Mostrar que \displaystyle \lim_{k\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{(3k+2)^{k}}\right)^{1/k}=1.
    • A quantidade \dfrac{1}{(3k+2)^{k}} tende a 0 muito rapidamente quando k\to\infty. Seja \varepsilon_k=\dfrac{1}{(3k+2)^{k}}\ge 0 com \varepsilon_k\to 0. Então \left(1+\varepsilon_k\right)^{1/k}=\exp\!\bigg(\frac{\ln(1+\varepsilon_k)}{k}\bigg).Como \ln(1+\varepsilon_k)\le \varepsilon_k e \varepsilon_k\to 0, temos \dfrac{\ln(1+\varepsilon_k)}{k}\to 0. Portanto o exponencial tende a e^{0}=1.

Passo 7

Combinar os limites para obter L. Usando os resultados do passo anterior na expressão de \sqrt[k]{|a_k|},
\sqrt[k]{|a_k|}=\frac{2\cdot k^{1/k}}{(3k+2)\left(1+\dfrac{1}{(3k+2)^{k}}\right)^{1/k}}
temos, ao passar k\to\infty,
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\lim_{k\to\infty}\frac{2\cdot 1}{(3k+2)\cdot 1}=0.
Logo o \limsup é L=0.

Passo 8

Conclusão pelo teste da raiz: como L=0<1, a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} k}{(3 k+2)^{k}+1} converge absolutamente. Convergência absoluta implica, em particular, convergência simples (a série converge).

Resposta

A série converge absolutamente.