Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência (ou divergência) da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma vai de
a .
A pergunta é: essa série converge ou diverge? (Se possível, identificar se converge absolutamente.)
Passo 2
Escolha do método: como o termo geral envolve uma expressão elevada a
tanto no numerador como no denominador, o teste da raiz (root test) é uma escolha natural e eficiente. Vou usar esse teste porque ele lida diretamente com potências de ordem
e tende a simplificar expressões do tipo
.
Passo 3
Enunciado do teste da raiz (explicado de forma simples):
- Seja
uma sequência de números reais. Defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui eu vou calcularpara .
Passo 4
Calcular a
-ésima raiz do termo geral. Começo escrevendo a raiz
-ésima de
:
Como tudo é positivo, posso retirar potências
separadamente:
Passo 5
Simplificar o denominador da raiz
-ésima. Note que
Portanto
Passo 6
Calcular limites auxiliares que surgem:
-
Mostrar que
. - Tomemos logaritmo:
. Como cresce mais devagar que , temos . Então , logo .
- Tomemos logaritmo:
-
Mostrar que
. - A quantidade
tende a muito rapidamente quando . Seja com . Então Como e , temos . Portanto o exponencial tende a .
- A quantidade
Passo 7
Combinar os limites para obter
. Usando os resultados do passo anterior na expressão de
,
temos, ao passar
,
Logo o
é
.
Passo 8
Conclusão pelo teste da raiz: como
, a série
converge absolutamente. Convergência absoluta implica, em particular, convergência simples (a série converge).
Resposta
A série converge absolutamente.