Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
(4 x^3 - 6 x y^2) dx + (4 y^3 - 6 x y) dy = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma . O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos calcular e e ver se elas são iguais.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Comparando as derivadas:
Vemos que , então as derivadas parciais não são iguais. Isso significa que a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata, pois .

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