Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
d y/d x = - (2 x sen(y) + e^x cos(y)) / (x^2 cos(y) - e^x sen(y))

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de equações diferenciais. A pergunta é para verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução geral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma que facilite a verificação de exatidão. A equação é:
Podemos reorganizar isso para colocá-la na forma . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos comparar e :
Claramente, . Isso significa que a equação não é exata.

Resposta

A equação dada não é exata.

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