Verifique que a fórmula f(z)=\cos (\sqrt{z}) define uma função inteira, equanto que g(z)= \operatorname{sen}(\sqrt{z}) não.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • São dadas duas funções complexas definidas por fórmulas com raiz quadrada:
    • f(z)=\cos\bigl(\sqrt{z}\bigr).
    • g(z)=\operatorname{sen}\bigl(\sqrt{z}\bigr).
  • O pedido: verificar (ou seja, provar) que f define uma função inteira e que g não define uma função inteira.
  • Informações úteis que já conhecemos e vamos usar:
    • Uma função é inteira se for holomorfa em todo o plano \mathbb{C}. Equivalente: tem expansão em série de potências (Taylor) em torno de 0 com raio de convergência infinito, ou em torno de qualquer ponto com raio >0.
    • As funções \cos w e \sin w são inteiras em w e têm as séries de Taylor com raio infinito: \cos w=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,w^{2k}, \qquad \sin w=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,w^{2k+1}.
    • A raiz quadrada \sqrt{z} é, em geral, uma função multivalorada em \mathbb{C} com ponto de ramificação em z=0. Porém, se numa expressão a dependência em \sqrt{z} for através de potências pares, pode ocorrer cancelamento da multivaluação e aparecer uma função em potências inteiras de z.

Passo 2

Explicando a estratégia e lembrando conceitos importantes (didático).
  • Ideia geral: escrever as séries de \cos e \sin em termos de w=\sqrt{z} e ver se o resultado dá uma série em potências inteiras de z (isso garante holomorfia em todo \mathbb{C}) ou se sobra uma raiz não eliminável (o que impede ser analítica em z=0, logo não inteira).
  • Por que séries importam aqui? Porque se conseguimos escrever uma função como \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^nque converge para todo z\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito), então a função é inteira. Se, em vez disso, aparece um fator \sqrt{z} multiplicando uma série em potências inteiras, então a expansão em torno de 0 teria expoente não inteiro e a função não é holomorfa em 0.
  • Também usarei a paridade (par/impar) das séries de \cos e \sin: \cos w é função par (só potências pares de w); \sin w é função ímpar (só potências ímpares de w).

Passo 3

Mostrando que f(z)=\cos\bigl(\sqrt{z}\bigr) é inteira.
  • Começo da série de \cos em w: \cos w=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,w^{2k}.
  • Substituo w=\sqrt{z}. Como cada potência aparece com expoente 2k, temos (\sqrt{z})^{2k}=z^{k}. Logo \cos\bigl(\sqrt{z}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,(\sqrt{z})^{2k} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,z^{k}.
  • Observações sobre essa série:
    • É uma série de potências em z com expoentes inteiros k=0,1,2,\dots.
    • Os coeficientes \dfrac{(-1)^k}{(2k)!} têm crescimento compatível com raio de convergência infinito (mesmos coeficientes da série de \cos em w, que converge para todo w). Portanto a série converge para todo z\in\mathbb{C}.
    • Como f(z) tem uma representação por série de potências em z com raio de convergência infinito, f é holomorfa em todo \mathbb{C}, isto é, f é inteira.
  • Comentário intuitivo: a multivaluação da raiz quadrada desapareceu porque \cos só “vê” \sqrt{z} através de potências pares; trocar \sqrt{z} por -\sqrt{z} não altera \cos, então não há ambiguidade e a função é single-valued e analítica globalmente.

Passo 4

Mostrando que g(z)=\operatorname{sen}\bigl(\sqrt{z}\bigr) não é inteira (argumento por contradição usando paridade).
  • Começo pela série de \sin em w: \sin w=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,w^{2k+1}.
  • Substituo w=\sqrt{z}. Agora aparecem potências ímpares de w, ou seja \sin\bigl(\sqrt{z}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,(\sqrt{z})^{2k+1} =\sqrt{z}\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,z^{k}.Denotando h(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,z^{k}, a soma converge para todo z (série inteira), então \sin\bigl(\sqrt{z}\bigr)=\sqrt{z}\,h(z).
  • Agora o ponto-chave: \sqrt{z} é multivalorada em \mathbb{C} e tem ponto de ramificação em z=0. Mesmo que h(z) seja inteira, o fator \sqrt{z} impede que o produto seja uma função holomorfa em 0 (não existe expansão em potências inteiras de z com início em z^0 porque o menor expoente é 1/2). Mais formal:
    • Suponha, por contradição, que g(z)=\sin(\sqrt{z}) fosse holomorfa numa vizinhança de 0. Então g teria uma série de Taylor em potências inteiras: \sin\bigl(\sqrt{z}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n\quad\text{para }|z|<R.
    • Faça a mudança de variável z=w^2. Para |w|<\sqrt{R} teríamos \sin(w)=\sin\bigl(\sqrt{w^2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n w^{2n}.Isso significa que, num vizinho de 0, \sin(w) seria uma função par (só potências pares de w). Mas sabemos que \sin(w) é ímpar: \sin(-w)=-\sin(w). A única forma de ser ao mesmo tempo par e ímpar é ser identicamente zero, e \sin não é identicamente zero. Contradição.
    • Portanto a suposição de que g é holomorfa em 0 é falsa. Logo g não é holomorfa em todo \mathbb{C}, ou seja, g não é inteira.
  • Comentário alternativo (intuitivo): ao contornar z=0 uma volta completa, \sqrt{z} troca de sinal, e como \sin é ímpar, \sin(\sqrt{z}) muda de sinal — não é single-valued ao redor de 0, logo não pode ser uma função inteira.

Passo 5

Resumo e observações finais (motivação para lembrar na prova).
  • Por expansão em série: \cos(\sqrt{z})=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{(2k)!}z^{k} é série de potências em z com raio infinito ⇒ f é inteira.
  • Por paridade e presença de \sqrt{z}: \sin(\sqrt{z})=\sqrt{z}\,h(z) com h inteira; o fator \sqrt{z} impede expansão em potências inteiras em z e causa multivaluação em torno de 0 g não é inteira.
  • Dica prática para a prova: sempre examine se a substituição w=\sqrt{z} transforma potência ímpar de w (problema) ou somente potências pares (bom), e use a troca z=w^2 para um argumento de paridade quando for conveniente.

Resposta

f(z)=\cos(\sqrt{z}) é inteira.
g(z)=\operatorname{sen}(\sqrt{z}) não é inteira.