Verifique que a fórmula
define uma função inteira, equanto que
não.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- São dadas duas funções complexas definidas por fórmulas com raiz quadrada:
-
. -
.
-
- O pedido: verificar (ou seja, provar) que
define uma função inteira e que não define uma função inteira. - Informações úteis que já conhecemos e vamos usar:
- Uma função é inteira se for holomorfa em todo o plano
. Equivalente: tem expansão em série de potências (Taylor) em torno de com raio de convergência infinito, ou em torno de qualquer ponto com raio . - As funções
e são inteiras em e têm as séries de Taylor com raio infinito: - A raiz quadrada
é, em geral, uma função multivalorada em com ponto de ramificação em . Porém, se numa expressão a dependência em for através de potências pares, pode ocorrer cancelamento da multivaluação e aparecer uma função em potências inteiras de .
- Uma função é inteira se for holomorfa em todo o plano
Passo 2
Explicando a estratégia e lembrando conceitos importantes (didático).
- Ideia geral: escrever as séries de
e em termos de e ver se o resultado dá uma série em potências inteiras de (isso garante holomorfia em todo ) ou se sobra uma raiz não eliminável (o que impede ser analítica em , logo não inteira). - Por que séries importam aqui? Porque se conseguimos escrever uma função como
que converge para todo (raio de convergência infinito), então a função é inteira. Se, em vez disso, aparece um fator multiplicando uma série em potências inteiras, então a expansão em torno de teria expoente não inteiro e a função não é holomorfa em . - Também usarei a paridade (par/impar) das séries de
e : é função par (só potências pares de ); é função ímpar (só potências ímpares de ).
Passo 3
Mostrando que
é inteira.
- Começo da série de
em : - Substituo
. Como cada potência aparece com expoente , temos . Logo - Observações sobre essa série:
- É uma série de potências em
com expoentes inteiros . - Os coeficientes
têm crescimento compatível com raio de convergência infinito (mesmos coeficientes da série de em , que converge para todo ). Portanto a série converge para todo . - Como
tem uma representação por série de potências em com raio de convergência infinito, é holomorfa em todo , isto é, é inteira.
- É uma série de potências em
- Comentário intuitivo: a multivaluação da raiz quadrada desapareceu porque
só “vê” através de potências pares; trocar por não altera , então não há ambiguidade e a função é single-valued e analítica globalmente.
Passo 4
Mostrando que
não é inteira (argumento por contradição usando paridade).
- Começo pela série de
em : - Substituo
. Agora aparecem potências ímpares de , ou seja Denotando , a soma converge para todo (série inteira), então - Agora o ponto-chave:
é multivalorada em e tem ponto de ramificação em . Mesmo que seja inteira, o fator impede que o produto seja uma função holomorfa em (não existe expansão em potências inteiras de com início em porque o menor expoente é ). Mais formal: - Suponha, por contradição, que
fosse holomorfa numa vizinhança de . Então teria uma série de Taylor em potências inteiras: - Faça a mudança de variável
. Para teríamos Isso significa que, num vizinho de , seria uma função par (só potências pares de ). Mas sabemos que é ímpar: . A única forma de ser ao mesmo tempo par e ímpar é ser identicamente zero, e não é identicamente zero. Contradição. - Portanto a suposição de que
é holomorfa em é falsa. Logo não é holomorfa em todo , ou seja, não é inteira.
- Suponha, por contradição, que
- Comentário alternativo (intuitivo): ao contornar
uma volta completa, troca de sinal, e como é ímpar, muda de sinal — não é single-valued ao redor de , logo não pode ser uma função inteira.
Passo 5
Resumo e observações finais (motivação para lembrar na prova).
- Por expansão em série:
é série de potências em com raio infinito ⇒ é inteira. - Por paridade e presença de
: com inteira; o fator impede expansão em potências inteiras em e causa multivaluação em torno de ⇒ não é inteira. - Dica prática para a prova: sempre examine se a substituição
transforma potência ímpar de (problema) ou somente potências pares (bom), e use a troca para um argumento de paridade quando for conveniente.